Ecuația Basset - Boussinesq - Oseen

În mecanica fluidelor, ecuația Basset - Boussinesq - Oseen descrie forța care acționează asupra unei particule într-un flux incompresibil nestabil, cu un număr redus de Reynolds . Această ecuație poartă numele lucrărilor lui Alfred Barnard Basset (1888), Joseph Boussinesq (1885) și Carl Wilhelm Oseen (1927).

Face posibilă scutirea de la calcularea debitului la scara microscopică prin înlocuirea efectelor locale cu diferiți termeni corecți pentru simpla tragere.

Formulare

Forța care acționează asupra unei particule sferice

de diametru $d_ {p}$
densitate , ${\ displaystyle \ rho _ {p}}$
masa , ${\ displaystyle m_ {p} = {\ frac {\ pi} {6}} \ rho _ {p} d_ {p} ^ {3}}$
de viteză ${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {p}}$

în fluxul fluidului cu viteză redusă

densitate , ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$
viteza , ${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {f}}$
unde lungimile caracteristice (variația densității, vitezei etc. ) sunt de același ordin de mărime ca dimensiunea particulei

este dat de următoarea expresie:

{\ displaystyle m_ {p} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V} _ {p}} {\ mathrm {d} t}} = \ underbrace {3 \ pi \ mu d_ {p} (\ mathbf {V} _ {f} - \ mathbf {V} _ {p})} _ {\ text {drag (Stokes)}} + \ underbrace {{\ frac {m_ {f}} {2}} \, {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} \ left (\ mathbf {V} _ {f} - \ mathbf {V} _ {p} \ right)} _ {\ text {adăugat masă}} + \ underbrace {{\ frac {3} {2}} d_ {p} ^ {2} {\ sqrt {\ pi \ rho _ {f} \ mu}} \ int _ {t_ { _ {0}}} ^ {t} {\ frac {1} {\ sqrt {t- \ tau}}} \, {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} \ tau} } \ left (\ mathbf {V} _ {f} - \ mathbf {V} _ {p} \ right) \, {\ text {d}} \ tau} _ {\ text {Basset force}} + \ underbrace {(m_ {p} -m_ {f}) \ mathbf {g}} _ {\ text {Archimedes thrust}}}

unde este masa fluidului deplasată de particulă. ${\ displaystyle m_ {f} = {\ frac {\ pi} {6}} \ rho _ {f} d_ {p} ^ {3}}$

Termenul de masă adăugată este termenul inerțial legat de faptul că fluidul în contact cu particula are aceeași accelerație ca cea din urmă.
Forța Basset este legată de accelerația fluidului de-a lungul traiectoriei particulei (termen istoric între și ). $t_ {0}$ $t$

Această expresie este valabilă în câmpul limitat de:

un număr redus de Reynolds

{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {f} \ max \ left \ {\ left | \ left | \ mathbf {V} _ {f} - \ mathbf {V} _ {p} \ right | \ right | \ right \} \, d_ {p}} {\ mu}} \, <\, 1}

un flux omogen în jurul particulei, în special fără detașare

{\ displaystyle d_ {p} \, <\, {\ frac {l_ {K}} {6}}}

unde este scara Kolmogorov .

{\ displaystyle l_ {K}}

Generalizare

Această expresie a fost ulterior generalizată pentru a lua în considerare:

Corecția lui Faxén pentru tragere luând în considerare neomogenitățile locale din jurul particulei

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {8}} \ mu d_ {p} ^ {3} \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} _ {f}}

unde este vectorul laplacian ,

\ nabla ^ 2

un număr mai mare al lui Reynolds,
particule non-sferice, dotate cu un lift,
un mediu compresibil.

Se poate scrie și o ecuație pentru rotație, care poate fi prezentă chiar și pentru o particulă sferică datorită gradienților de viteză în plan perpendicular pe traiectorie.

Referințe

(în) Alfred Barnard Basset , " A Treatise on Hydrodynamics " , Deighton, Bell and Company ,1888
Joseph Boussinesq , „ Cu privire la rezistența pe care un fluid nedefinit o opune în repaus la mișcarea variată a unei sfere solide ”, Proceedings of the Academy of Sciences , vol. 100,1885, p. 935-937 ( citește online )
(de) Carl Wilhelm Oseen , " Hydrodynamik " , Akademische Verlagsgesellschaft ,1927
(în) Martin R. Maxey și James J. Riley, „ Ecuația mișcării unei mici sfere rigide într-un flux neuniform ” , Physics of Fluids A , vol. 26,1983, p. 883-889
(în) Parmar, A. și S. Balachandar Haselbacher, " Ecuația mișcării pentru o sferă în fluxuri compresibile neuniforme " , Journal of Fluids Mechanics , vol. 699,2012, p. 352-375