Operator Vector Laplacian
În analiza vectorială , vectorul Laplacian este un operator diferențial pentru câmpurile vectoriale . Are multe asemănări cu operatorul scalar laplacian .
Definiții
În spațiul euclidian , vectorul Laplacian este cel mai simplu definit prin plasarea sa într-un sistem de coordonate cartezian . În acest caz, vectorul laplaciană unui câmp de orice vector A are componente pentru componentele laplaciană ale A . Cu alte cuvinte, în spațiul tridimensional, dacă scriem
LA=LAXtuX+LAytuy+LAztuz{\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = A ^ {x} {\ boldsymbol {u}} _ {x} + A ^ {y} {\ boldsymbol {u}} _ {y} + A ^ {z} {\ boldsymbol {u}} _ {z}},
atunci se scrie
vectorul Laplacian al lui A
ΔLA=(ΔLAX)tuX+(ΔLAy)tuy+(ΔLAz)tuz{\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {A}} = (\ Delta A ^ {x}) {\ boldsymbol {u}} _ {x} + (\ Delta A ^ {y}) {\ boldsymbol {u}} _ {y} + (\ Delta A ^ {z}) {\ boldsymbol {u}} _ {z}}.
Expresii în alte sisteme de coordonate
Din expresia în coordonate carteziene, putem exprima laplacianul în orice alt sistem de coordonate, deoarece odată definit noul sistem de coordonate, putem exprima vectorii noii baze în funcție de cele ale bazei carteziene, așa cum se poate exprimă derivatele parțiale comparativ cu noile coordonate în funcție de derivatele parțiale comparativ cu coordonatele carteziene. În trei dimensiuni, o metodă alternativă (dar nu mult mai rapidă) este utilizarea formei rotației rotației , care este scrisă pentru orice câmp vector:
∇∧(∇∧LA)=∇(∇⋅LA)-ΔLA{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge {\ boldsymbol {A}}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {A}}) - \ Delta {\ boldsymbol {A}}}.
Obținem astfel următoarele formule:
Coordonate cilindrice
În sistemul obișnuit de coordonate cilindrice r , θ , z , avem:
ΔLA=(∂2LAr∂r2+1r2∂2LAr∂θ2+∂2LAr∂z2+1r∂LAr∂r-2r2∂LAθ∂θ-LArr2)tur+(∂2LAθ∂r2+1r2∂2LAθ∂θ2+∂2LAθ∂z2+1r∂LAθ∂r+2r2∂LAr∂θ-LAθr2)tuθ+(∂2LAz∂z2+1r2∂2LAz∂θ2+∂2LAz∂r2+1r∂LAz∂r)tuz{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Delta A}} = {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ quad \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {r}} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {r}} {\ partial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {r}} {\ partial z ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial A ^ {r}} {\ partial r}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial A ^ {\ theta}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {A ^ {r}} { r ^ {2}}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ {r} \\\ displaystyle + \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ partial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ partial z ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial A ^ {\ theta} } {\ partial r}} + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial A ^ {r}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {A ^ {\ theta}} {r ^ {2}}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ {\ theta} \\\ displaystyle + \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {z}} {\ partial z ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {z}} {\ partial \ theta ^ {2} }} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {z}} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ party al A ^ {z}} {\ partial r}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ {z} \ end {array}}}.
Coordonate sferice
În sistemul obișnuit de coordonate sferice r , θ , φ , avem:
ΔLA=(1r∂2(rLAr)∂r2+1r2∂2LAr∂θ2+1r2păcat2θ∂2LAr∂φ2+costθr2∂LAr∂θ-2LArr2-2r2∂LAθ∂θ-2costθr2LAθ-2r2păcatθ∂LAφ∂φ)tur+(2r2∂LAr∂θ-LAθr2păcat2θ+1r∂2(rLAθ)∂r2+1r2∂2LAθ∂θ2+1r2păcat2θ∂2LAθ∂φ2+costθr2∂LAθ∂θ-2r2costθpăcatθ∂LAφ∂φ)tuθ+(2r2păcatθ∂LAr∂φ+2r2costθpăcatθ∂LAθ∂φ+1r∂2(rLAφ)∂r2+1r2∂2LAφ∂θ2+1r2păcat2θ∂2LAφ∂φ2+costθr2∂LAφ∂θ-LAφr2păcat2θ)tuφ{\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {A}} = {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ quad \ left ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ {2} ( rA ^ {r})} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {r}} {\ partial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {r}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ cot \ theta} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial A ^ {r}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {2A ^ {r}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial A ^ {\ theta}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {2 \ cot \ theta} {r ^ {2}}} A ^ {\ theta} - {\ frac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial A ^ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ {r} \\\ displaystyle + \ left ({\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial A ^ {r}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {A ^ {\ theta}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ {2} (rA ^ {\ theta})} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} }} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ partial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ cot \ theta} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial A ^ {\ theta}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ cot \ theta} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial A ^ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ {\ theta} \\\ displaystyle + \ left ( {\ frac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial A ^ {r}} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {2} {r ^ {2} }} {\ frac {\ cot \ theta} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial A ^ {\ theta}} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {1} {r}} { \ frac {\ partial ^ {2} (rA ^ {\ varphi})} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ varphi}} {\ partial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ varphi}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ cot \ theta} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial A ^ {\ varphi}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {A ^ {\ varphi}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ { \ varphi} \ end {array}}}Aplicații
Laplacianul vectorial este prezent în special:
Vezi și tu