Egalitatea parsevalului

Egalitatea lui Parseval uneori numită lui Parseval teorema sau relația lui Parseval este o formulă de bază a teoriei serii Fourier . Îi datorăm matematicianului francez Marc-Antoine Parseval des Chênes ( 1755 - 1836 ).

Este denumită și Identitatea Rayleigh de la numele fizicianului John William Strutt Rayleigh , care a câștigat Premiul Nobel pentru fizică din 1904 .

Această formulă poate fi interpretată ca o generalizare a teoremei lui Pitagora pentru serii în spații Hilbert .

În multe aplicații fizice (de exemplu, curent electric), această formulă poate fi interpretată după cum urmează: energia totală este obținută prin adăugarea contribuțiilor diferitelor armonici .

Energia totală a unui semnal nu depinde de reprezentarea aleasă: frecvență sau timp.

E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | x (t) | ^ 2 ~ \ mathrm dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | X (f) | ^ 2 ~ \ mathrm df.

Inegalitatea Bessel

Următoarea teoremă este demonstrată în articolul detaliat.

Fie o familie ortonormală a unui spațiu preilbertian . ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$

Pentru orice vector , inegalitatea Bessel afirmă sumabilitatea următoarei familii și limita superioară: ${\ displaystyle x \ în H}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ left | \ langle e_ {i} | x \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}}$ ,ceea ce înseamnă că setul de termeni diferiți de zero este cel mult numărabil și constituie o serie absolut convergentă , de sumă mărită cu . ${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}}$
Dacă și numai dacă este în aderența spațiului vectorial generat de familie , atunci limita superioară este o egalitate, numită „egalitate Parseval”. Astfel, familia este o bază Hilbert a dacă și numai dacă egalitatea este valabilă pentru orice vector . $X$ ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$ ${\ displaystyle x \ în H}$

Formula pentru seria Fourier

Fie o funcție T -periodică și de pătrat integrabilă pe o perioadă (este valabilă astfel în special pentru T -periodică și continuă pe bucăți ). Definim coeficienții lui Fourier : $f$ $f$

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} t} ~ \ mathrm {d} t}

Egalitatea lui Parseval afirmă convergența următoarelor serii și afirmă identitatea:

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}

Dacă funcția are valori reale, pot fi adoptate următoarele convenții: $f$

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t = c_ {0}}$ ;
${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ cos {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ ;
${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ sin {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ .

Egalitatea lui Parseval devine:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ dreapta)}

Atenție : unii autori preferă o convenție pentru care expresia $unui 0$ este și în 2 / T :

{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t}

Formula lui Parseval devine apoi:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {4}} a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right)}

Aplicații

Aceste rezultate se aplică în special în cazul unui spațiu prehilbertian de dimensiune finită, de exemplu în analiza armonică pe un grup abelian finit .
Dacă două funcții pătrate integrabile f și g au același spectru de frecvență (aceiași coeficienți Fourier), atunci coeficienții Fourier ai f - g sunt toți zero (prin liniaritate) și ║ f - g ║ 2 = 0. De fapt, f și g sunt egale aproape peste tot . Dacă în plus f și g sunt bucăți continue, f și g sunt egale, cu excepția nivelului punctelor de discontinuitate ale lui f și g .
Atunci când integralul este mai ușor de calculat decât seria, egalitatea Parseval este o modalitate de a calcula un anumit număr de serii numerice (se poate folosi egalitatea într-un punct între funcție și seria Fourier , dată de exemplu de teorema lui Dirichlet ) .
Egalitatea Parseval permite obținerea inegalității Wirtinger între normele unei funcții periodice și derivatele acesteia, apoi inegalitatea clasică isoperimetrică .

Reciproc: teorema Riesz-Fischer

Notăm cu ℓ 2 spațiul vectorial al secvențelor astfel încât seria converge. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$ $\ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ | c_n \ | ^ 2 \$

Riesz-Fischer teorema face posibilă starea că o astfel de secvență este secvența coeficienților Fourier a unei funcții pătrat integrabile, T periodică. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$

Astfel există izomorfism între spațiile $L 2$ T ale funcțiilor pătrate integrabile periodice și T și ℓ 2 . Formula lui Parseval arată că este chiar o izometrie .

Note și referințe

„ Capitolul 7: Transformarea Fourier ” , pe ressources.unisciel.fr (accesat la 11 august 2019 )