Turnul Postnikov

În teoria homotopiei , o ramură a topologiei algebrice , un turn Postnikov (sau sistemul Postnikov ) este un obiect care permite reconstituirea unui spațiu topologic din grupurile sale de homotopie .

Definiție

Un turn Postnikov pentru un spațiu X conectat prin arcuri este un morfism de la X la o succesiune de spații și hărți continue , ... → X n →… → X 1 → X 0 , astfel încât

• fiecare hartă X → X n induce izomorfisme ale lui π k pentru k ≤ n  ;
• π k ( X n ) = 0 pentru k > n .

Proprietăți

Toate complexele legate de CW au un astfel de „truc”.

Putem înlocui treptat fiecare hartă X n → X n - 1 printr-o fibrare , a cărei fibră este un spațiu Eilenberg-MacLane K (π n ( X ), n ), în conformitate cu lunga sa secvență exactă d homotopie. Aplicarea lui X în limita proiectivă a lui X n este atunci o echivalență slabă de homotopie .

Complexul CW conectat X are un turn Postnikov cu fibrări principale dacă și numai dacă acțiunea lui π 1 ( X ) asupra π n ( X ) ( n > 1) este banală.

Note și referințe

1. (în) Mikhail M. Postnikov , "  Determinarea grupurilor de omologie ale unui spațiu prin gruparea invarianților de homotopie  " , Proceedings of the URSS Academy of Sciences SSSR , vol.  76,1951, p.  359-362
2. (ro) Allen Hatcher , Algebraic Topology , New York, Cambridge University Press ,2001, 544  p. ( ISBN  978-0-521-79540-1 , citit online ) , p.  410-413