În matematică , o acțiune a unui grup pe un set este o lege externă componența grupului pe platoul de filmare, îndeplinirea unor condiții suplimentare. Mai precis, este dată, pentru fiecare element al grupului, o permutare a mulțimii, în așa fel încât toate aceste bijecții să fie compuse într-un mod compatibil cu legea grupului.
Având în vedere o mulțime E și un grup G , a cărui lege este notată prin multiplicare și al cărei element neutru este notat , o acțiune (sau operație ) a lui G pe E este o aplicație: verificând următoarele proprietăți: ; .
Se spune de asemenea că G funcționează (sau este) pe întreg E . Este important să se verifice că setul E este stabil sub acțiunea grupării G .
Un punct de vedere echivalent constă în a spune că grupul G funcționează pe setul E dacă avem un morfism de grupuri , a declarat a fi asociată cu acțiunea ,, a grupului G în grupul simetric S E al întregului E . O astfel de morfism se numește o reprezentare a grupului G .
Acest morfism este legat de acțiune de pentru tot .
În cazul în care mulțimea E este prevăzută cu o structură suplimentară (algebrică, topologică, geometrică), se iau în considerare numai morfismele, cum ar fi păstrarea acestei structuri pentru toți . De exemplu, dacă E este un spațiu vectorial, trebuie să fie evaluat în GL ( E ).
Toate exemplele din paragraful anterior sunt acțiuni lăsate. Dar este util să luați în considerare și acțiunile din dreapta. Vom avea o acțiune în dreapta dacă . Astfel, un grup G funcționează pe el însuși în dreapta prin traduceri în dreapta. Desigur, este natural și convenabil de observat
o acțiune în dreapta.
Grupul opus al grupului simetric S E este ansamblul permutațiilor lui E prevăzute cu legea compoziției . La o acțiune de drept al unui grup G pe un set de E , există un homomorfism de la G în direcție opusă S E . Acest omomorfismelor aplică un element g de G pe permutare x ↦ x⋅g de E .
Cometariu. Evaluarea funcțională utilizată astăzi conduce în mod natural la favorizarea acțiunilor de stânga. Notarea exponențială (folosită de exemplu de Emil Artin în cartea sa despre algebrele geometrice ), în care ceea ce notăm este scris , ar duce la acțiuni privilegiante în dreapta.
Definim orbita unui element x al lui E prin . Orbita lui x este multimea elementelor E asociat cu x sub acțiunea G . Relația „ y se află pe orbita lui x ” este o relație de echivalență pe E ; clasele de echivalență sunt orbitele.
In particular, orbitele formează o partiție de E .
Stabilizator (sau subgrupa izotropie ) a unui element x al E sub acțiunea G este setul elemente care lasă x invariante sub acțiunea lor. Acesta este un subgrup al G . Stabilizatorii a două elemente ale aceleiași orbite sunt conjugați prin formula: . În special :
Mai mult, aplicația este o bijecție de pe , astfel încât indicele stabilizatorului oricărui punct al unei orbite este egal cu cardinalul acestei orbite (această proprietate va fi reamintită mai jos sub denumirea de " formula claselor ".)
Putem defini, în mod similar, setul Fix g al punctelor fixate de un element g al grupului G ca ansamblul elementelor lui E invariante sub acțiunea lui g : .
Setul de g al lui G astfel încât g⋅A = A se numește stabilizator al lui A sub G și se înțelege stab ( A ); este stabilizator de elementul A de la cota ( G ) pe natural asociat cu cel al E .
Exemplu:O metodă de a reuși în cubul Rubik ( metoda Fridrich ) constă în realizarea primelor două coroane, apoi orientarea cuburilor ultimei coroane pentru a avea fața superioară și în final pentru a permuta cuburile (Permute Last Layer). Putem astfel nota P1 stabilizatorul primelor două coroane și al ultimei fețe. Natura unui grup apare în mod natural: dacă alcătuim doi algoritmi P1, de exemplu, obținem altul.
Astfel, cubul Rubik face posibilă ilustrarea noțiunii de acțiune de grup pe un set.
Se spune că o acțiune este tranzitivă dacă are o singură orbită. O acțiune a unui grup G asupra unui set E este, prin urmare, tranzitivă dacă și numai dacă E nu este goală și că oricare două elemente ale lui E pot fi trimise reciproc prin acțiunea unui element al grupului:
.Mai general, o acțiune asupra unui set E (de cel puțin n elemente) se spune că este n-tranzitivă dacă acțiunea corespunzătoare asupra setului de n -tuple de elemente distincte este tranzitivă, adică dacă pentru n puncte distincte x 1 , ... , x n și n puncte distincte y 1 ,…, y n , arbitrare în E , există întotdeauna cel puțin un element g al grupului astfel încât să avem atât g · x 1 = y 1 , ..., g · x n = y n .
Se spune că acțiunea este strict n-tranzitivă dacă, în plus, un astfel de g este întotdeauna unic, cu alte cuvinte dacă acțiunea asupra n -uplurilor elementelor distincte este pur și simplu tranzitivă .
Se spune că un grup de permutări este tranzitiv (resp. N -transitiv, resp. Strictly n -transitive) dacă funcționarea sa naturală este tranzitivă (resp. N -transitive, resp. Strictly n -transitive).
Din clasificarea grupurilor simple finite rezultă că singurele grupuri de permutări 4-tranzitive sunt grupurile simetrice și alternante (de grad ≥ 4 și respectiv ≥ 6) și grupurile Mathieu M 24 , M 23 , M 12 și M 11 : în plus, M 24 și M 12 sunt 5-tranzitive.
Iordania dovedise în 1873 că singurele grupuri de permutare strict 6 tranzitive sunt grupurile simetrice de grade 6 și 7 și grupul alternativ de grad 8.
Acțiunea se numește liberă dacă toți stabilizatorii sunt reduși la neutru, cu alte cuvinte dacă orice alt element neutru acționează fără punct fix .
Se spune că o acțiune este fidelă (spunem uneori și eficientă ) dacă intersecția tuturor stabilizatorilor este redusă la neutru, cu alte cuvinte dacă doar neutrul fixează toate punctele.
.Acțiunea liberă este fidelă.
În mod echivalent, o acțiune este fidelă dacă morfismul
definit de este injectiv.
Se spune că o acțiune este pur și simplu tranzitivă dacă este atât tranzitivă, cât și liberă. Cu alte cuvinte, oricare două elemente ale spațiului sunt trimise una peste alta de către unul și doar un singur element al grupului:
.De exemplu, acțiunea unui grup asupra sa prin traduceri spre stânga (sau spre dreapta) este pur și simplu tranzitivă.
O acțiune fidelă și tranzitivă a unui grup abelian este pur și simplu tranzitivă. Într-adevăr, mai general, pentru orice acțiune tranzitivă a unui grup G , orbitele unui subgrup normal sunt permutate de G, prin urmare sunt toate aceleași cardinale (prin urmare sunt singletoni dacă acest subgrup fixează un punct).
O acțiune tranzitivă a unui grup finit G asupra unui set X este pur și simplu tranzitivă dacă și numai dacă G și X au aceeași cardinalitate .
Dacă G este un grup topologic și X un spațiu topologic , se spune că acțiunea este continuă dacă harta corespunzătoare G × X → X , ( g , x ) ↦ g⋅x este continuă , G × X fiind dotat cu topologia produsului . X / G spatiul orbitelor este apoi prevăzută cu o topologie câtul și X → X / G Harta este deschisă . Dacă X / G este compact , se spune că acțiunea este cocompactă .
Se spune că acțiunea este curată dacă harta G × X → X × X , ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) este curată . Spațiul orbitelor este apoi separat . Se spune că o acțiune continuă proprie unui grup discret este discontinuă în mod corespunzător (en) . Când G este compact local și X separat, acțiunea este corectă dacă și numai dacă oricare două puncte x și y ale lui X au întotdeauna vecinătăți V x și V y astfel încât V y întâlnește doar gV x pentru un set relativ compact d elemente g de g . Când G este separat și X compact local, o acțiune continuă este adecvată dacă și numai dacă, pentru orice K compact al lui X , închiderea elementelor g din G pentru care gK întâlnește K este compactă. Dacă G este un grup compact , aceste condiții de compactitate (relativă) ale părților lui G sunt verificate automat. Dacă G este un grup discret, acestea sunt echivalente cu finitudinea părților considerate.
Prin noțiunile de orbită și stabilizator, acțiunile de grup sunt un instrument util în combinatorică . Pe de altă parte, un anumit număr de proprietăți privind structura anumitor grupuri poate fi demonstrat prin numărarea argumentelor.
Două identități apar frecvent, mai ales când grupul G este terminat.
Să G un grup de operare (stânga) pe un set X și un set Y . Vom spune că aceste două operații sunt echivalente dacă există o bijecție f de la X pe Y astfel încât, pentru orice element g al lui G și orice element x al lui X , să avem
,unde punctele reprezintă operațiunile G de pe X și la Y, respectiv .
Acum lasa G un grup de operare (stânga) pe un set X sau H un grup de operare (stânga) pe un set Y . Spunem că aceste două acțiuni sunt aproape echivalente sau chiar izomorfe dacă există o bijecție f din X pe Y și un izomorfism al grupelor σ din G pe H astfel încât, pentru orice element g al lui G și orice element x al lui X , avem
,unde punctele reprezintă funcționarea G pe X și cea a H pe Y , respectiv .
Acest lucru înseamnă a spune că dacă f * denotă izomorfismul s ↦ f ∘ s ∘ f −1 al lui S X pe S Y , dacă φ denotă omomorfismul grupurilor de la G la S X corespunzător acțiunii lui G pe X , dacă ψ denotă omomorfismul grupurilor de la H la S Y corespunzătoare acțiunii lui H pe Y , atunci
.În cazul particular în care G = H și unde σ este izomorfismul identitar al lui G, găsim echivalența a două operații din același grup.
Dacă două acțiuni sunt aproape echivalente, setul de orbite ale primei este echipotent la toate orbitele celei de-a doua. Mai exact, putem pune orbitele primei într-o corespondență unu-la-unu cu orbitele celei de-a doua, astfel încât două orbite corespunzătoare să aibă întotdeauna același cardinal (la o orbită a primei acțiuni, faceți-i imaginea să corespundă prin bijecție f considerat mai sus). În special, două acțiuni cvasi-echivalente sunt tranzitive sau ambele netransitive. Același lucru este valabil și pentru proprietățile tranzitivității multiple, fidelității etc.
Fie G și H două grupuri. Să presupunem că o acțiune G × H → H : ( g , h ) ↦ g ⋅ h a lui G (setul de bază al lui) H are următoarea proprietate:
pentru orice element g din G , pentru toate elementele h , k din H , g ⋅ ( h * k ) = ( g ⋅ h ) ∗ ( g ⋅ k ),în cazul în care asteriscul reprezintă grupa H lege . Aceasta înseamnă că pentru fiecare element g de G , permutarea h ↦ g ⋅ h de H este o automorphism a grupului H . Spunem apoi că acțiunea lui G asupra lui H este o acțiune prin automorfisme . În acest caz, morfism de G în S H acțiunea asociată ia valorile în grupul Aut ( H ) din automorfisme H . Prin urmare, o acțiune a lui G pe H prin automorfisme poate fi asimilată unui homomorfism al lui G în Aut ( H ).
De exemplu, acțiunea unui grup asupra sa prin conjugare este o acțiune prin automorfisme ( interior ).
Fie G un grup care operează prin automorfisme pe un grup H , sau G 1 un grup care operează prin automorfisme pe un grup H 1 . Spunem că aceste două acțiuni sunt aproape echivalente cu acțiunile prin automorfisme (și nu numai ca acțiuni ale grupurilor pe mulțimi) dacă există un izomorfism (și nu numai o bijecție) f de la H pe H 1 și un izomorfism al grupurilor σ de G pe G 1 astfel încât, pentru orice element g al lui G și orice element x al lui X , avem
,unde punctele reprezintă respectiv operația lui G pe H și cea a lui G 1 pe H 1 .
Acțiunile grup pe grup prin automorfisme fac posibilă definirea produsului semi-direct (extern) al unui grup de altul.