Poynting Vector

Poynting Vector Produs încrucișat al câmpului electric V de câmpul magnetic B. Date esentiale

Unități SI	watt pe metru pătrat ( W m -2 )
Dimensiune	M · T  -3
Natură	Dimensiune Vector intensiv
Simbol obișnuit	S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}, , SauΠ→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}NU→{\ displaystyle {\ vec {N}}}
Link către alte dimensiuni	Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}} = 1μ0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu _ {0}}}} E→{\ displaystyle {\ vec {E}}} ∧{\ displaystyle \ wedge}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}} Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}} ⋅ dS→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {d} S}}} =d{\ displaystyle = \ mathrm {d}}Φe{\ displaystyle \ Phi _ {\ mathrm {e}}}

In fizica , Poynting vectorul este flux densitatea legată de propagarea a undei electromagnetice . Direcția sa este direcția de propagare. Observați , , Or . Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}NU→{\ displaystyle {\ vec {N}}}

Fluxul vectorului Poynting printr-o suprafață (închisă sau nu) este egal cu puterea purtată de undă prin această suprafață. Modulul acestui vector este deci o putere pe unitatea de suprafață , adică o densitate de flux de energie  ; este omogen cu o iluminare energetică și o ieșire energetică  ; și, în sistemul internațional (SI) de unități , este exprimat în wați pe metru pătrat .

Expresia generală a vectorului Poynting

Să și să fie câmpul electric și câmpul magnetic . Conservarea energiei electromagnetice pe o suprafață este exprimată, în forma sa locală (adesea numită teorema lui Poynting ), ca o ecuație de conservare  : E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}

∂e(t)∂t+∇→⋅Π→(t)=s(t){\ displaystyle {\ frac {\ partial e (t)} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ Pi}} (t) = s (t)}

cu timpul, densitatea energetică a câmpului electromagnetic, fluxul care iese din suprafață și termenul sursă: densitatea volumului de energie câștigată sau pierdută. t{\ displaystyle t}e{\ displaystyle e}Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}s{\ displaystyle s}s>0{\ displaystyle s> 0}

Din ecuațiile lui Maxwell în vid, derivăm expresia pentru vectorul Poynting în vid:

Π→(t)=E→(t)∧B→(t)μ0{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ frac {{\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {B}} (t)} {\ mu _ {0}} }}

unde μ 0 este permeabilitatea vidului .

Într-un material liniar , cu permeabilitate magnetică μ și în care se poate neglija dispersia și pierderile, este recomandabil să se ia în considerare excitația magnetică definită de relație . Apoi obținem o expresie mai generală a vectorului Poynting: H→(t){\ displaystyle {\ vec {H}} (t)}B→(t)=μH→(t){\ displaystyle {\ vec {B}} (t) = \ mu \, {\ vec {H}} (t)}

Π→(t)=E→(t)∧H→(t){\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {H}} (t)}.

Într-un mediu liniar dispersiv cu pierderi, expresia vectorului Poynting este păstrată , dar teorema Poynting nu mai este exprimată cu și include termeni de disipare suplimentari. Π→=E→∧H→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} = {\ vec {E}} \ wedge {\ vec {H}}}e{\ displaystyle e}

Media timpului în notație complexă

În cazul unei unde electromagnetice armonice cu plan progresiv , avem

E→=E→0cos⁡(ωt-φ){\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ varphi)}}

și

B→=B→0cos⁡(ωt-ψ){\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {B}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ psi)}}

Una cantități complexe poate astfel asociat cu câmpurile și pozand (cu număr complex , cum ar fi ): E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}eu{\ displaystyle i}eu2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}

E→_=E→_0eeuωt=E→0e-euφeeuωt{\ displaystyle {\ underline {\ vec {E}}} = {\ underline {\ vec {E}}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {E }} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ varphi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}

și

B→_=B→_0eeuωt=B→0e-euψeeuωt{\ displaystyle {\ underline {\ vec {B}}} = {\ underline {\ vec {B}}} _ {0} \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {B}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ psi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}.

Media temporală a vectorului Poynting merită atunci:

⟨Π→⟩=12μ0Re(E→_∧B→_⋆){\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle = {\ frac {1} {2 \, \ mu _ {0}}} \; {\ text {Re}} \ left ({\ underline { \ vec {E}}} \ wedge {\ underline {\ vec {B}}} ^ {\ star} \ right)}

unde denotă conjugatul luiB→_⋆{\ displaystyle {\ underline {\ vec {B}}} ^ {\ star}}B→_{\ displaystyle {\ underline {\ vec {B}}}}

Legătură cu abordarea energetică a propagării fasciculului

Media temporală a fluxului Poynting este legată de luminanța unui fascicul care se propagă în direcție . Această luminanță este dată de: L(Ω){\ displaystyle L (\ Omega)}Ω0=Π→||Π→||{\ displaystyle \ Omega _ {0} = {\ frac {\ vec {\ Pi}} {|| {\ vec {\ Pi}} ||}}}

L(Ω)=⟨Π→⟩δ(Ω-Ω0){\ displaystyle L (\ Omega) = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle \ delta (\ Omega - \ Omega _ {0})}

unde este funcția Dirac . δ{\ displaystyle \ delta}

Verificăm că prima momentul de care reprezintă densitatea de flux găsește Poynting flux: L(Ω){\ displaystyle L (\ Omega)}f→{\ displaystyle {\ vec {f}}}

f→=∫S2ΩL(Ω)dΩ=⟨Π→⟩{\ displaystyle {\ vec {f}} = \ int _ {S ^ {2}} \ Omega L (\ Omega) \ mathrm {d} \ Omega = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle}

Puterea electromagnetică care trece printr-o suprafață

O consecință a teoremei lui Poynting este că puterea electromagnetică care trece printr-o suprafață S este dată de fluxul vectorului Poynting prin această suprafață.

PS=∬SΠ→⋅dS→{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {S} = \ iint _ {S} {\ vec {\ Pi}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}

Ecuația energetică a unui câmp electromagnetic

Fie că energia câmpului electromagnetic este: Uem{\ displaystyle U_ {em}}

Uem=∭VWemdτ{\ displaystyle U_ {em} = \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau}cu densitatea volumului de energie W (cantitatea de energie pe unitate de volum)

Definim cantitatea de energie care lasă un volum pentru o perioadă de timp  : V{\ displaystyle V}dt{\ displaystyle \ mathrm {d} t}

-dUemdt=-ddt∭VWemdτ=-∭V∂Wem∂tdτ{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} U_ {em}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau = - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} \ mathrm {d} \ tau}

Fie vectorul fluxului de energie al câmpului. Conform teoremei Green-Ostrogradsky (teorema fluxului-divergență ), putem spune că fluxul care iese din volumul V este: P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}

∬ΣP→⋅nu→ dσ{\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma} {\ vec {P}} \ cdot {\ vec {n}} \ \ mathrm {d} \ sigma}cu un vector unitate normal la suprafața volumului V, orientat din interior spre exterior. nu→{\ displaystyle {\ vec {n}}}Σ{\ displaystyle \ Sigma}

Pierderea de energie a volumului poate fi explicată după cum urmează:

• pierderi datorate „fricțiunii” încărcăturilor mobile (a se vedea legea Ohm locală, efect Joule);
• pierderi datorate radiației electromagnetice care ies din volum.

Prin urmare, putem spune că:

-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} \ mathrm {d} \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau}+ munca asigurată de teren materialului

Să calculăm această lucrare:

F→e´levs.treuqtue=q(E→+v→∧B→){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ rm {{\ acute {e}} electric}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B }})}.

Pentru o particulă:

dW→=F→⋅dr→=qE→⋅dr→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {W}} = {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = q {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}} (se observă cu ușurință că forța magnetică nu funcționează).

Să trecem la puterea furnizată de câmp. Puterea primită de o particulă este:

F→⋅v→=qE→⋅v→{\ displaystyle {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} = q \, {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}}

Se remarcă densitatea particulelor , prin urmare: NU{\ displaystyle N}

∂WElevs.treuqtue∂t=NUqE→⋅v→{\ displaystyle {\ frac {\ partial W_ {Electric}} {\ partial t}} = Nq {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}} aur NUqv→=j→{\ displaystyle Nq {\ vec {v}} = {\ vec {j}}}

prin urmare ∂WElevs.treuqtue∂t=j→⋅E→{\ displaystyle {\ frac {\ partial W_ {Electric}} {\ partial t}} = {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}

Această pierdere de putere este egală cu pierderea de energie a câmpului pe unitate de timp și volum, așa că în cele din urmă scriem:

-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ+∭Vj→⋅E→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} d \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau + \ iiint _ {V} {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} \ mathrm {d} \ tau}

Deci, în sfârșit, avem:

-∂Wem∂t=∇→⋅P→+j→⋅E→{\ displaystyle - {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {j}} \ cdot { \ vec {E}}} ecuația energiei câmpului electromagnetic

Note și referințe

1. Dubesset 2000 , sv watt pe metru pătrat, p.  124.
2. Dubesset 2000 , iradianța sv , p.  60.
3. Dubesset 2000 , ieșirea energiei sv , p.  64.
4. Dubesset 2000 , vector sv al lui Poynting, p.  121.
5. (în) John David Jackson, Electrodinamică clasică ediția a treia , John Wiley & Sons ,1999, pagina 259
6. Electrodinamică clasică ediția a III-a, JD Jackson, pagina 264 (paginile 275-277 în ediția franceză)

Vezi și tu

Bibliografie

• [Poynting 1884] (ro) John Henry Poynting , „  Despre transferul de energie în câmpul electromagnetic  ” , Philos. Trans. R. Soc. , vol.  175,Dec. 1884, art.  n o  XV , p.  343-361 ( OCLC  6067266495 , DOI  10.1098 / rstl.1884.0016 , JSTOR  109449 , Bibcode  1884RSPT..175..343P , rezumat , citiți online [PDF] ) - art.  primit pe17 decembrie 1883 și citiți-l 10 ianuarie 1884.
• [Dubesset 2000] Michel Dubesset ( pref.  De Gérard Grau), Manualul Sistemului Internațional de Unități: lexic și conversii , Paris, Technip, col.  „Publicații ale Institutului Francez al Petrolului  ”,Septembrie 2000, 1 st  ed. , 1  vol. , XX -169  p. , bolnav. , fig. și tabl. , 15 × 22  cm , fr. ( ISBN  2-7108-0762-9 , EAN  9782710807629 , OCLC  300462332 , notificare BnF n o  FRBNF37624276 , SUDOC  052448177 , prezentare online , citit online ) , sv vector de Poynting, p.  121.

Articole similare

• Teorema lui Poynting

linkuri externe

• [OI] (în) „  Poynting vector  ” [„Poynting vector”] autoritate înregistrare nr .  20110803100341357 a Oxford Index (OI) în baza de date Oxford Reference a Oxford University Press (OUP) .
• Înregistrări de autoritate  :
  • Gemeinsame Normdatei
• Observație într-un dicționar sau o enciclopedie generală  : Encyclopædia Britannica