Cele soiuri de Einstein este un concept de geometrie diferențială și fizică teoretică , în strânsă legătură cu ecuația Einstein a relativității generalizate . Acestea sunt varietăți Riemanniene sau pseudo-Riemanniene a căror curbură Ricci este proporțională cu metrica. Prin urmare, formează soluții ale ecuației lui Einstein în vid, cu o constantă cosmologică care nu este neapărat zero, dar fără a se limita la cadrul geometriei lorentziene utilizate în relativitatea generală, care postulează trei dimensiuni ale spațiului și o dimensiune a timpului.
Pe o varietate pseudo-Riemanniană , avem în special tensorul metric și tensorul de curbură Ricci , care sunt doi tensori de același tip (2,0). Varietatea se numește Einstein atunci când există un raport constant de proporționalitate între acești doi tensori: în orice punct al varietății și pentru toți vectorii și spațiul tangent în acel punct .
Constanta poate fi exprimată luând urmele în această relație: curbura scalară este observată și merită (prin notarea dimensiunii colectorului).
În dimensiunea 2 sau 3, curbura Ricci determină în totalitate tensorul de curbură și un colector Einstein este dacă și numai dacă este la o curbură constantă . Familia de spații cu curbură constantă este bine cunoscută și studiul varietăților Einstein este, prin urmare, relevant doar pentru dimensiunile 4 sau mai multe.
Putem găsi o altă definiție, aparent mai largă, a varietăților Einstein, în care nu cerem ca coeficientul de proporționalitate să fie constant. Dar dacă există o funcție astfel încât în orice punct al varietății pe care o avem , o astfel de funcție este în mod necesar constantă. Există într-adevăr o echivalență cu definiția.
În cadrul varietăților Riemanniene compacte de dimensiunea 3 sau mai mult, varietățile Einstein pot fi introduse și ca soluții ale unei probleme variaționale .
Definim curbura scalară totală a unei varietăți Riemanniene compacte ca fiind integrala curburii scalare , adică (unde denotă măsura Riemanniană rezultată din metrică). Această expresie definește o funcție a metricei, numită Riemann funcțional, deoarece este compatibilă cu retragerea operației (în) . Este o funcție omogenă și este relevant să se limiteze studiul la valori ale volumului total 1; este, de asemenea, o funcție diferențiată , de gradient . Metricele lui Einstein sunt exact punctele critice ale funcționalității reduse în spațiu a volumului 1 pe colector .
Pentru varietăți compacte și orientabile de dimensiunea 4, există invarianți topologici care sunt exprimați pur și simplu ca o funcție a curburii: caracteristica Euler-Poincaré și semnătura (în) . Din aceste expresii, putem obține o condiție necesară pentru ca varietatea să admită o metrică Einstein: este inegalitatea Hitchin-Thorpe
Cu toate acestea, această condiție nu este suficientă și au fost introduse diferite familii de contra-exemple.