Unitaritate

În mecanica cuantică , unitaritatea desemnează faptul că evoluția funcției undei în timp trebuie să fie compatibilă cu interpretarea probabilistică asociată acesteia.

Definiție exactă

Memento despre funcția de undă

Funcția de undă a unui sistem cuantic, precum electronul de exemplu, face posibilă determinarea probabilității prezenței sale într-o cutie de volum mic centrată în par. ψ(X→){\ displaystyle \ psi ({\ vec {x}}) \,} δV{\ displaystyle {\ rm {\ delta}} {\ mathcal {V}} \,}X→{\ displaystyle {\ vec {x}} \,}

|ψ(X→)|2 δV{\ displaystyle | \ psi ({\ vec {x}}) | ^ {2} \ {\ rm {\ delta}} {\ mathcal {V}} \,}

Și întrucât probabilitatea totală de a găsi sistemul undeva trebuie să fie una, rezultă că trebuie să avem

‖ψ‖=∭|ψ(X→)|2 d3X=1{\ displaystyle \ | \ psi \ | = \ iiint | \ psi ({\ vec {x}}) | ^ {2} \ {\ rm {d}} ^ {3} x = 1 \,}

prin integrarea în tot spațiul.

Funcțiile de undă a căror integrală pe întregul spațiu este egală cu 1 se numesc funcții de undă normalizabile , iar starea cuantică corespunzătoare o stare cuantică normalizabilă . Dar nu toate funcțiile de undă sunt normalizabile, cum ar fi cea corespunzătoare stării de impuls.

Unitaritatea este o proprietate a tuturor funcțiilor de undă normalizabile.

Unitaritate

Această proprietate a funcției de undă trebuie să fie adevărată la un moment dat. Prin urmare, unitaritatea poate fi exprimată sub forma:

∂‖ψ‖∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ | \ psi \ |} {\ partial t}} = 0}

Ecuația Schrödinger care stabilește evoluția funcției de undă trebuie să satisfacă această constrângere. Amintim că această ecuație este scrisă

euℏ∂ψ∂t=Hψ{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = {\ mathcal {H}} \ psi}

unde este hamiltonianul sistemului. Rezultă atunci că Hamiltonianul trebuie să fie un operator hermitian , adică valorile proprii (și, prin urmare, cantitățile măsurate) ale operatorului sunt numere reale, ceea ce corespunde bine realității. H{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \,}

Criteriul unitar poate fi exprimat mai general ca conservarea produsului scalar în timp. Fie două stări cuantice și , atunci trebuie să avem: θ{\ displaystyle \ theta}ψ{\ displaystyle \ psi}

∂⟨θ|ψ⟩∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ langle \ theta | \ psi \ rangle} {\ partial t}} = 0}

conservarea standardului fiind doar cazul particular în care . θ=ψ{\ displaystyle \ theta = \ psi}

Se poate arăta, de asemenea, că ecuația Schrödinger păstrează efectiv produsul scalar (cu condiția, întotdeauna, că hamiltonienul este hermitian).

Operator

Ecuația Schrödinger fiind unitară, poate fi reprezentată de un operator de unitate în formalismul mecanicii cuantice.

Dovada reprezintă ecuația Schrödinger de către un operator liniar U  : . ψ(t)=U(t)ψ(0){\ displaystyle \ psi (t) = U (t) \ psi (0)}

Știm că ecuația Schrödinger păstrează produsul scalar, atunci: . ⟨Uα|Uβ⟩=⟨α|β⟩{\ displaystyle \ langle U \ alpha | U \ beta \ rangle = \ langle \ alpha | \ beta \ rangle}

Pe de altă parte, o proprietate a matricelor alăturate în raport cu produsul scalar asigură că . ⟨α|Uβ⟩=⟨U∗α|β⟩{\ displaystyle \ langle \ alpha | U \ beta \ rangle = \ langle U ^ {*} \ alpha | \ beta \ rangle}

Prin urmare: ⟨α|UU∗β⟩=⟨α|β⟩{\ displaystyle \ langle \ alpha | UU ^ {*} \ beta \ rangle = \ langle \ alpha | \ beta \ rangle}

De aici rezultă caracteristica unui operator unitar . UU∗=U∗U=Eu{\ displaystyle UU ^ {*} = U ^ {*} U = I}

Unitaritate și măsură

Cel de-al cincilea postulat al mecanicii cuantice afirmă reducerea funcției de undă la una dintre stările proprii ale hamiltonienului imediat după o observație.

Acest postulat este o încălcare directă (și singura) a principiului unitarității mecanicii cuantice. Într-adevăr, reducerea funcției de undă corespunde unei proiecții , care nu păstrează produsul scalar.

Acesta subliniază faptul că observarea unui sistem microscopic de către un dispozitiv macroscopic este o interacțiune violentă pentru sistemul cuantic. Lucrarea asupra decoerenței cuantice încearcă să arate, până acum cu succes, că dacă studiem mecanismul de observare mai precis atunci este posibil să arătăm că postulatul al cincilea nu este strict exact, ci mai degrabă o aproximare. În această abordare, reducerea aparentă a funcției de undă este doar o localizare progresivă în jurul uneia dintre stările proprii ale hamiltonienului și este o consecință a ecuației Schrödinger pentru sistemul fizic total alcătuit din sistemul observat, precum și din observator.

Note

1. Fizicienilor le place uneori să vorbească despre un operator hermitic .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">