Teorema japoneză pentru patrulaterele care se pot scrie
În geometrie , teorema japoneză pentru patrulatere spune că centrele cercurilor inscripționate ale triunghiurilor unui patrulater inscriptibil sunt vârfurile unui dreptunghi.
Prin desen diagonalele ale patrulaterului , obținem patru triunghiuri (fiecare diagonală creează două triunghiuri). Centrele cercurilor înscrise în aceste triunghiuri formează un dreptunghi.
State
Fie orice patrulater scris și să fie centrele respective ale cercurilor înscrise în triunghiuri .
LABVSD{\ displaystyle ABCD}M1,M2,M3,M4{\ displaystyle M_ {1}, M_ {2}, M_ {3}, M_ {4}}LABD,LABVS,BVSD,LAVSD{\ displaystyle ABD, ABC, BCD, ACD}
Atunci patrulaterul este un dreptunghi.
M1M2M3M4{\ displaystyle M_ {1} M_ {2} M_ {3} M_ {4}}
Principiul demonstrației
Dovada se bazează pe două proprietăți pe unghiuri:
- Într-un triunghi ABC al cărui centru al cercului înscris este O, unghiul BOC este egal cu jumătate din unghiul BAC crescut cu un unghi drept,
- Proprietatea de unghiuri înscrise pentru punctele cocyclic
Apoi dovedim că punctele și sunt cociclice, precum și și etc. Apoi dovedim că unghiul este corect scriindu-l folosind unghiurile și .
LA,B,M1{\ displaystyle A, B, M_ {1}}M2{\ displaystyle M_ {2}}LA,D,M1{\ displaystyle A, D, M_ {1}}M4{\ displaystyle M_ {4}}M2M1M4{\ displaystyle M_ {2} M_ {1} M_ {4}}M2M1LA{\ displaystyle M_ {2} M_ {1} A}M4M1LA{\ displaystyle M_ {4} M_ {1} A}
Extensie
Această teoremă este un pas în demonstrația unei teoreme mai generale, referitoare la razele cercurilor înscrise,
teorema japoneză care afirmă în cadrul acestui patrulater, că suma razelor cercurilor înscrise de centru și este egală cu suma razelor cercurilor de centre inscripționate și . Pentru a demonstra cazul patrulaterelor care se pot scrie, este necesar să se construiască paralelogramul ale cărui laturi trec prin vârfurile dreptunghiului fiind paralele cu diagonalele patrulaterului. Apoi dovedim că paralelogramul obținut este un romb, prin utilizarea
unghiurilor alternative-interne și a cocliclicității punctelor și etc. Distanțele dintre laturile opuse ale acestui romb sunt, prin urmare, egale, ceea ce înseamnă că suma razelor cercurilor inscripționate tangente la fiecare diagonală sunt egale.
M1{\ displaystyle M_ {1}}M3{\ displaystyle M_ {3}}M2{\ displaystyle M_ {2}}M4{\ displaystyle M_ {4}}LA,B,M1{\ displaystyle A, B, M_ {1}}M2{\ displaystyle M_ {2}}
Cazul patrulater dovedeste imediat cazul general prin triangularea unui poligon.
Vezi și tu
Articole similare
linkuri externe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia în
limba engleză intitulat
„ Teorema japoneză pentru patrulaterele ciclice ” ( vezi lista autorilor ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">