Teorema medie

În analiza reală , teorema medie este un rezultat clasic privind integrarea funcțiilor continue ale unei variabile reale , conform căreia media unei funcții continue pe un segment este realizată ca valoare a funcției.

State

Teorema  -  Pentru orice funcție f cu valori reale, definită și continuă pe un segment [ a , b ] , cu a < b , există un c real între a și b ( a și b fiind excluse) care îndeplinește:

f(vs.)=1b-la∫labf(X) dX.{\ displaystyle f (c) = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ \ mathrm {d} x.}

Integrala este definită aici în sensul lui Riemann (dar f fiind presupus a fi continuu , poate fi utilizată o formă mai simplă de integrare, ca cea utilizată de Cauchy ); dacă admitem prima teoremă fundamentală a analizei , teorema mediei fuzionează cu teorema creșterilor finite .

Adesea se folosește doar următoarea consecință mai slabă, cunoscută sub numele de inegalitatea mediei  :

Teorema  -  Dacă f este continuu peste [ a , b ] , cu a ≤ b și dacă pentru toate x ale acestui interval, avem:m≤f(X)≤M,{\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M,}asa dem(b-la)≤∫labf(X)dX≤M(b-la).{\ displaystyle m \, (ba) \ leq \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x \ leq M \, (ba).}

(acest ultim rezultat este încă valabil pentru orice funcție integrabilă)

Observații

• Grafic, o interpretare a acestei teoreme este că aria algebrică sub curba reprezentativă a lui f este egală cu cea a unui dreptunghi cu baza [ a , b ] , iar înălțimea un punct mediu al curbei.
• Această teoremă extinde funcțiile reale ale mai multor variabile pe un câmp compact și conectat prin multiple integrale .
• Punctul c nu depinde continuu de f . Teorema medie afirmă existența unui c real, dar nu oferă informații despre dependența sa de funcția f .
• Presupunerea continuității este esențială. De exemplu pentru [ a , b ] = [0; 1] prin setarea f ( x ) = 1 dacă x <1/2 și f ( x ) = 0 în caz contrar, valoarea medie a lui f este egală cu 1/2, prin urmare nu se realizează ca valoarea lui f .

Demonstrație

Prin utilizarea teoremei fundamentale a analizei sau prin scurtcircuitarea teoriei integralei Riemann și luarea, ca definiție a integralei unei funcții continue pe un interval, variația pe acest interval a oricăreia dintre primitivele sale (presupunând astfel că există), teorema mediei devine o simplă reformulare a teoremei măririlor finite .

Într-adevăr, dacă F este un antiderivativ al lui f , atunci teorema creșterilor finite pentru F oferă existența unui c real strict între a și b astfel încât

F′(vs.)=F(b)-F(la)b-la ,{\ displaystyle F '(c) = {\ frac {F (b) -F (a)} {ba}} \,}

care este rezultatul dorit deoarece F ' = f șiF(b)-F(la)=∫labf(X)dX.{\ displaystyle F (b) -F (a) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x.}

Pentru o demonstrație mai „directă”, cf. generalizarea de mai jos prin setarea g ( x ) = 1 .

Generalizare

Așa cum teorema medie este o versiune integrală a teoremei incrementului finit, următoarea generalizare a acestuia este o versiune integrală a teoremei generalizate a incrementului finit  :

Pentru toate funcțiile unei variabile reale f și g continue pe segmentul [ a , b ] , cu a < b , g păstrând un semn constant pe [ a , b ] , există un real c al ] a , b [ astfel încât

∫labf(X)g(X) dX=f(vs.)∫labg(X) dX.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x = f (c) \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x.} Demonstrație

Putem presupune că funcția g are valori pozitive sau zero (chiar dacă aceasta înseamnă înlocuirea acesteia cu –g dacă este necesar).

Se poate exclude în continuare cazul trivială unde fg este forma Kg pentru o constantă K . Aceasta exclude în special faptul că g este constant zero sau că f este constant.

Conform teoremei valorii extreme și teoremei valorii intermediare , imaginea de sub f a segmentului [ a , b ] este un segment [ m , M ] cu m < M , iar imaginea intervalului deschis ] are , b [ este un interval inclus în acest segment și care diferă de acesta doar cu cel mult două puncte, prin urmare ]m,M[⊂f(]la,b[).{\ displaystyle] m, M [\ subset f (] a, b [).}

Deoarece g este continuu pozitiv și nu în mod constant zero, integralul său peste [ a , b ] este strict pozitiv.

Pentru a demonstra asta ∫labf(X)g(X) dX∫labg(X) dX∈f(]la,b[),{\ displaystyle {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x} {\ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x}} \ în f (] a, b [),} deci doar verifică asta m∫labg(X) dX<∫labf(X)g(X) dX<M∫labg(X) dX.{\ displaystyle m \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x <\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x <M \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x.}

Să arătăm, de exemplu, prima inegalitate strictă (raționamentul pentru a doua este analog).

Funcția ( f - m ) g fiind continuă pozitivă și nu constant zero, aplicația y↦∫lay(f(X)-m)g(X) dX{\ displaystyle y \ mapsto \ int _ {a} ^ {y} (f (x) -m) g (x) ~ \ mathrm {d} x} crește și nu este constantă, astfel încât valoarea sa în b este strict mai mare decât cea din a . Asa de, m∫labg(X) dX<∫labf(X)g(X) dX,{\ displaystyle m \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x <\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} X,} care pune capăt demonstrației.

Notă

Presupunerea că g păstrează un semn constant este esențială: de exemplu pentru [ a , b ] = [–1, 1] și f ( x ) = g ( x ) = x , nu există c astfel încât 2/3 = c × 0 .

Articole similare

• Media teoremei pentru diferențele divizate  (în)
• Stieltjes integral  : prima și a doua formulă a mediei

Link extern

• Paul Mansion , „Cu privire la a doua teoremă a mediei” (1885), online și comentat la BibNum .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">