Teorema divergenței
In analiza vectorială , teorema divergență (numită Green-Ostrogradski teorema sau flux-divergență teorema ), afirmă egalitatea între integrantă a divergența unui câmp vectorial peste un volum , iar fluxul acestui domeniu peste volumul limita ( care este o integrală de suprafață ).
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}
Egalitatea este următoarea:
∫∫∫V∇→⋅F→dV=∫⊂⊃∫∂VF→⋅dS→{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {F}} \, {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ Subset \! \! \! \ Supset \! \! \! \! \ ! \! \! \ int _ {\ partial {\ mathcal {V}}} {\ overrightarrow {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ overrightarrow {S}}}
sau:
-
V{\ displaystyle {\ mathcal {V}} \,} este volumul;
-
∂V{\ displaystyle \ partial {\ mathcal {V}} \,} este hotarul V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}
-
dS→{\ displaystyle {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}}}este vectorul normal spre suprafață, îndreptat spre exterior și de normă egal cu elementul de suprafață pe care îl reprezintă
-
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}este diferențiat continuu în orice punct al ;V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}
-
∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}este operatorul nabla ; (valabil numai în coordonatele carteziene).∇→⋅F→=deuv F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {F}} = \ mathrm {div} \ {\ overrightarrow {F}}}
Această teoremă rezultă din teorema lui Stokes care în sine generalizează a doua teoremă fundamentală a analizei .
Interpretarea fizică
Acesta este un rezultat important în fizica matematică , în special în electrostatică și dinamica fluidelor , unde această teoremă reflectă o lege a conservării . Conform semnului său, divergența exprimă dispersia sau concentrația unei cantități (cum ar fi o masă de exemplu) și teorema precedentă indică faptul că o dispersie într-un volum este însoțită în mod necesar de un flux total echivalent care iese de la granița sa.
Această teoremă face posibilă în special găsirea versiunii integrale a teoremei lui Gauss în electromagnetism din ecuația Maxwell-Gauss :
deuv E→ = ρε0.{\ displaystyle \ mathrm {div} \ {\ overrightarrow {E}} \ = \ {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}.}Alte relații
Această teoremă ne permite să deducem câteva formule utile din calculul vectorial. În expresiile de mai jos :
∇→⋅F→=deuvF→,∇→g=grlad→g,∇→∧F→=rot→F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {F}} = \ mathrm {div} \, {\ overrightarrow {F}}, \, {\ overrightarrow {\ nabla}} g = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, g \ ,, {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ overrightarrow { F}} \,}
∫∫∫V(F→⋅∇→g+g(∇→⋅F→))dV=∫⊂⊃∫∂VgF→⋅dS→,{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} \ left ({\ overrightarrow {F}} \ cdot { \ overrightarrow {\ nabla}} g + g \ left ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {F}} \ right) \ right) {\ rm {d}} V = \ int \! \ ! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ partial {\ mathcal {V}}} g {\ overrightarrow {F}} \ cdot {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}},}∫∫∫V∇→gdV=∫⊂⊃∫∂VgdS→,{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} {\ overrightarrow {\ nabla}} g \, {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ partial {\ mathcal {V}}} g \, {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}},}∫∫∫V(G→⋅(∇→∧F→)-F→⋅(∇→∧G→))dV=∫⊂⊃∫∂V(F→∧G→)⋅dS→,{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} \ left ({\ overrightarrow {G}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {F}} \ right) - {\ overrightarrow {F}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {G }} \ right) \ right) {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \ ! \! \! \! \ int _ {\ partial {\ mathcal {V}}} \ left ({\ overrightarrow {F}} \ wedge {\ overrightarrow {G}} \ right) \ cdot {\ rm {d }} {\ overrightarrow {S}},}∫∫∫V∇→∧F→dV=∫⊂⊃∫∂VdS→∧F→,{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {F}} {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ Subset \! \! \! \ Supset \! \! \! \! \! \ ! \! \ int _ {\ partial {\ mathcal {V}}} {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}} \ wedge {\ overrightarrow {F}},}∫∫∫V(f∇→2g+∇→f⋅∇→g)dV=∫⊂⊃∫∂Vf∇→g⋅dS→.{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} \ left (f {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} g + {\ overrightarrow {\ nabla}} f \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} g \ right) {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \ ! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ partial {\ mathcal {V}}} f {\ overrightarrow {\ nabla}} g \ cdot {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}}.}În special, aceste formule sunt exploatate pentru a obține formulări slabe asociate cu probleme derivate parțiale .
Articole similare