Teorema sufletului

În geometria Riemanniană , teorema de bază se referă la structura spațiilor cu curbură pozitivă, reducând-o în mare măsură la studiul cazului compact . Termenul suflet este o aluzie la sufletul armelor , oferind imaginea unei structuri „curbate în sine” care se extinde într-o anumită direcție „ca un cilindru”. Teorema a fost dovedită prin Cheeger și Gromoll (en) în 1972, generalizand un prim rezultat al Gromoll și Wolfgang Meyer (de) din 1969. caz limită A fost propusă sub forma unei conjuncturi de Gromoll și Meyer în 1972, această presupunere de sufletul a fost dovedit de Grigori Perelman în 1994.

Redirecţiona

Un prim rezultat a fost stabilit în principal de Gromoll și Meyer în 1969:

Teorema - Orice varietate riemanniană , completă , necompactă, cu curbură strict pozitivă este diferită de spațiul euclidian.

Teorema sufletului se referă mai general la varietățile $M$ cu curbură pozitivă:

Teorema sufletului (Gromoll-Meyer, 1969, Cheeger-Gromoll 1972) - Fie $M$ o varietate Riemanniană completă, necompactă, cu curbură pozitivă. Apoi , $M$ are un miez , adică un submanifold $N$ compact total geodezic și total convexă astfel încât $M$ este diffeomorphic pachetul normale de $N$ .

De exemplu, într-un cilindru de revoluție (în spațiul euclidian obișnuit), orice cerc de intersecție cu un plan normal față de axă constituie o rețea, în timp ce secțiunile cilindrului prin planuri oblice nu sunt total geodezice.

În situația primei teoreme (curbură strict pozitivă), sufletul este de fapt redus la un punct. Conjectura sufletului, enunțată de Cheeger și Gromoll, a fost destinată să caracterizeze situațiile în care se produce acest fenomen.

Rezolvarea conjecturii sufletului (Perelman 1994) - În situația teoremei sufletului, deoarece există un punct cu o curbură secțională strict pozitivă pentru direcțiile care nu sunt cuprinse în întregime în nucleu, acesta din urmă se reduce la un punct, iar varietatea este diferită de spațiul euclidian. .

Principiile probelor

În studiul varietăților Riemanniene complete non-compacte, suntem interesați în special de geodezii care minimizează lungimea dintre două dintre punctele lor. Pentru fiecare punct $p$ al varietății, printr-un argument al compacității sferei vectorilor tangenți unitari, se poate arăta că există cel puțin o „rază” rezultată din $p$ , adică o geodezică definită și minimizând între toate puncte. $[0, + \ infty [$

La această considerație preliminară se adaugă ipoteza curburii pozitive, care face posibilă în special utilizarea teoremei de comparație a lui Toponogov pentru a controla evoluția lungimilor. Este instrumentul folosit în 1969 de Gromoll și Meyer pentru a construi, dintr-o rază , o parte total convexă . Ei au format reunirea toate bilele (adică bilele a căror rază se conectează la ) și definite partea ca o completare a acestei reuniuni. Intersecția tuturor pentru diferitele raze dintr-un punct este o parte total convexă și putem arăta că este compactă și că conține un punct „simplu”, adică pentru care geodezica din acest punct nu revine niciodată la aceasta. $\gamma$ ${\ displaystyle C (\ gamma)}$ ${\ displaystyle B (\ gamma (t), t)}$ ${\ displaystyle p = \ gamma (0)}$ $\ gamma (t)$ ${\ displaystyle C (\ gamma)}$ ${\ displaystyle C (\ gamma)}$

Dovada mai generală a lui Cheeger și Gromoll folosește idei conexe. Aceasta implică diferitele funcții Busemann ale razelor care vin dintr-un punct dat și minimul acestor funcții, care rămâne o funcție convexă. Apoi este vorba de studierea liniilor de nivel, dar acest lucru necesită un tratament tehnic important.

Se poate arăta că sufletul nu este unic, dar două suflete sunt întotdeauna izometrice. Acest lucru a fost stabilit de Sharafutdinov în 1979 prin construirea unei retrageri varietale pe suflet, care nu mărește distanțele. În demonstrația sa de conjectură sufletească, Perelman a stabilit că această retragere este de fapt o scufundare .

Note și referințe

(în) Detlef Gromoll și Wolfgang Meyer , „ colectoarele deschise de curbură pozitivă sunt pline ” , Annals of Mathematics , vol. 90, n o 1,1969, p. 75-90 ( DOI 10.2307 / 1970682 , JSTOR 1970682 , Math Reviews 0247590 , citiți online ).
(în) Jeff Cheeger și Detlef Gromoll , „ Despre structura varietăților complete de curbură non-negativă ” , Annals of Mathematics , vol. 96, nr . 3,1972, p. 413-443 ( DOI 10.2307 / 1970819 , JSTOR 1970819 , Recenzii matematice 0309010 ).
Berger 2003 , p. 584
Berger 2003 , p. 586 .
Berger 2003 , p. 587 .
(în) VA Sharafutdinov , " Convex sets in a manifold of nonnegative curvature " , Mathematical Notes , Vol. 26, n o 1,1979, p. 556–560 ( DOI 10.1007 / BF01140282 )
(în) G. Perelman, „ Dovada conjecturii sufletului lui Cheeger și Gromoll ” , J. Differential Geom. , vol. 40, n o 1,1994, p. 209-212 ( DOI 10.4310 / jdg / 1214455292 , citiți online )

Vezi și tu

Bibliografie

(ro) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ detaliul ediției ], p. 583 și următoarele
(ro) Peter Petersen , Riemannian Geometry , Springer-Verlag,2006( ISBN 0-387-98212-4 ), p. 349-357

Articol asociat

Curbură pozitivă