Teorema comparației Toponogov
Toponogov comparație teoremă este un rezultat al geometriei riemanniene . În special, el compară comportamentul lungimilor triunghiurilor în acest tip de geometrie cu modelul tradițional al geometriei euclidiene . Mai general, relaționează lungimile triunghiurilor formate de geodezice cu curbura secțională a unei varietăți riemanniene. A fost numită în onoarea lui Victor Andreevich Toponogov (ro) care a stabilit demonstrația generală în 1959. Această declarație generalizează câteva rezultate preliminare.
Context și enunț
În geometria euclidiană , există formule pentru rezolvarea unui triunghi care permite în special calcularea lungimii unei laturi folosind lungimile celorlalte două laturi și unghiul pe care îl formează. Pe o varietate riemanniană , este recomandabil să se ia în considerare „triunghiuri geodezice”, ale căror laturi sunt formate din geodezii . Pentru aceste triunghiuri, formula euclidiană nu mai este verificată exact. Oferă o estimare asimptotică de prim ordin, valabilă pentru triunghiuri infinit de mici. Curbura secțională conferă termenului de corecție a comenzii 2.
Toponogov comparație Teorema depășește aceste considerente locale să fie interesați de triunghiuri geodezice de orice dimensiune. Comparația utilizată se referă la triunghiurile unui „spațiu model” S m (k) , conectat simplu , de dimensiune m și cu curbură constantă k . Astfel de proprietăți o determină complet până la izometrie: în cazul k = 0 este spațiu euclidian, pentru k> 0 , 'o sferă sau pentru k <0 un spațiu hiperbolic .
Fie M o varietate Riemanniană de dimensiune m , a cărei curbură secțională K este redusă cu o constantă k. Comparăm un triunghi geodezic abc al lui M și un triunghi geodezic a ′ b ′ c ′ al spațiului model asociat S m (k) . Presupunem că avem egalitățile de lungime c′a ′ = ca și c′b ′ = cb și egalitatea dintre unghiurile din c ′ și din c . Asa de
Un rezultat de comparație este, de asemenea, declarat în direcția opusă, atunci când curbura secțiunii este crescută. Formularea sa este analogă, inversând pur și simplu inegalitățile. Dar acest rezultat este valabil doar pentru triunghiurile care rămân în domeniul hărții exponențiale din c .
Note și referințe
- V. Pambuccian și T. Zamfirescu , „ Paolo Pizzetti: Creatorul uitat al geometriei comparației triunghiului ”, Hist Math ,2011
- (ro) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ detaliul ediției ], Teorema 73 p. 258