Teoria mulțimilor Kripke-Platek

Teoria set de Kripke-Platek este un sistem de axiome de prim ordin pentru teoria mulțimilor , dezvoltat de Saul Kripke și Richard Platek . Are trei scheme de axiome , fiecare dintre ele echivalând cu o listă infinită de axiome de ordinul întâi.

Axiome

Axioma extensionalității : două seturi care au aceleași elemente sunt egale.
Axioma de inducție : φ ( x ) fiind o formulă de ordinul întâi:

{\ displaystyle [\ forall x [\ forall y \ in x, \ varphi (y) \ Rightarrow \; \ varphi (x)]] \ Rightarrow \; \ forall x \ varphi (x)}

Axioma setului gol : Există un set fără element.
Axioma perechii : Dacă x și y sunt mulțimi, există un set notat { x , y } având exact x și y pentru elemente .
Axioma întâlnirii : Pentru fiecare set X este un set de U X ale cărui elemente sunt acele elemente ale X .
Axiomă Σ 0 - separare : Pentru orice set X și orice Σ 0 - formula formă ( x ), există o serie de elemente de X care φ (satisfac x ).
Axioma Σ 0 -colecției : Fie formula Σ 0- ( x , y ) astfel încât pentru toate x există un y care să satisfacă φ ( x , y ); apoi pentru fiecare X există un set Y de y astfel încât φ ( x , y ) pentru un x al X .

Aici, o formulă Σ 0- este o formulă în care orice cuantificare are forma sau variabilele acoperite de cuantificatori descriu un set. ${\ displaystyle \ forall u \ in v}$ ${\ displaystyle \ există u \ în v}$

Astfel, această teorie este semnificativ mai slabă decât teoria ZFC obișnuită , deoarece nu include axiomele setului de părți, infinit și alegere și folosește forme slabe de înțelegere și scheme de înlocuire.

Axioma inducției este mai puternică decât axioma fondatoare a ZF.

Existența produsului cartezian decurge din schema de colectare, schema de separare și axiomele de pereche și uniune.

Seturi și ordinali admisibili

Se spune că un set E este admisibil dacă este tranzitiv și dacă este un model al teoriei Kripke-Platek. ${\ displaystyle \ langle E, \ in \ rangle \, \!}$

Se spune că un ordinal α este admisibil dacă L α este un set admisibil.