Teorema virială
În mecanica clasică , teorema virială este o relație generală care se aplică unui sistem de mai multe corpuri care interacționează. Ea leagă mediile în timp ale energiilor sale cinetice și potențiale . A fost propus în 1870 de Rudolf Clausius, care a lucrat apoi la fundamentele termodinamicii și a căutat să raporteze conceptele de temperatură și căldură la mișcările moleculelor de gaz.
Istoric
Termenul „viriel”, din latina vis (forță), și teorema au fost ambii propuși de Rudolf Clausius în 1870. În franceză, termenul „viriel” este un sinonim învechit pentru „potențial”.
Enunțarea teoremei
Declarație originală
După cum sa afirmat inițial de Rudolf Clausius , teorema se aplică unui set stabil de particule de masă identificate prin pozițiile și viteza lor , pe care se exercită forțe . Este scris:
m{\ displaystyle m}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}
∑12mv2¯=-12∑r→⋅F→¯{\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum {\ overline {{\ vec {r }} \ cdot {\ vec {F}}}}}unde bara indică media în timp a cantităților corespunzătoare.
Caz particular
De multe ori păstrăm următorul caz special:
Teorema virială - Într-un sistem în echilibru dinamic , energia cinetică este opusul jumătății din energia potențială :
Evs.{\ displaystyle E_ {c}} Ep{\ displaystyle E_ {p}}
2Evs.+Ep=0{\ displaystyle 2E_ {c} + E_ {p} = 0}.
Acest rezultat este o consecință simplă a principiului fundamental al dinamicii , aplicat unui set de mase în interacțiunea gravitațională reciprocă ( problema corpului N ).
Energia totală E = E c + E p este deci
E=12Ep=-Evs.{\ displaystyle E = {\ tfrac {1} {2}} E_ {p} = - E_ {c}}.
Demonstrație
În dinamica corpului N
Ipoteză
Fie un sistem izolat de N corpuri masive cu masă constantă, fiecare corp experimentând deci doar forțele gravitaționale ale vecinilor săi.
Conform legii universale a gravitației , forța gravitațională exercitată asupra corpului i este scrisă:
Feu=-∑j≠eujGmeumjreu-rj|reu-rj|3{\ displaystyle F_ {i} = - \ sum _ {\ overset {j} {j \ neq i}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} -r_ {j}} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}}}Conform principiului fundamental al dinamicii , aceeași forță gravitațională exercitată asupra corpului i este scrisă:
Feu=meud2reudt2{\ displaystyle F_ {i} = m_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}Se va observa că prima expresie implică masa gravă, în timp ce a doua implică masa inertă , principiul echivalenței făcând totuși posibilă identificarea acestora.
Înmulțind și însumând toate masele i , găsim:
reu{\ displaystyle r_ {i}}
-∑eu≠jeu,jGmeumjreu(reu-rj)|reu-rj|3=∑euFeureu=∑eumeureud2reudt2(1){\ displaystyle - \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = \ sum _ {i} F_ {i} r_ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ quad (1)}Prin schimbul de indici silențioși, avem:
∑eu≠jeu,jGmeumjreu(reu-rj)|reu-rj|3=∑eu≠jeu,jGmeumjrj(rj-reu)|rj-reu|3{\ displaystyle \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} { | r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ { j} (r_ {j} -r_ {i})} {| r_ {j} -r_ {i} | ^ {3}}}}de unde :
-∑eu≠jeu,jGmeumjreu(reu-rj)|reu-rj|3=-12∑eu≠jeu,jGmeumj(reu(reu-rj)|reu-rj|3+rj(rj-reu)|rj-reu|3)=-12∑eu≠jeu,jGmeumj(reu-rj)2|reu-rj|3=-12∑eu≠jeu,jGmeumj|reu-rj|(2){\ displaystyle - \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ { i} m_ {j} \ left ({\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} + {\ frac {r_ {j} (r_ {j} -r_ {i})} {| r_ {j} -r_ {i} | ^ {3}}} \ right) = - {\ frac {1} {2} } \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {(r_ {i} -r_ {j}) ^ {2}} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} G {\ frac { m_ {i} m_ {j}} {| r_ {i} -r_ {j} |}} \ quad (2)}Se calculează:
d2(reu2)dt2=ddt(2reudreudt)=2(dreudt)2+2reud2reudt2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} (r_ {i} ^ {2})} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} } {\ mathrm {d} t}} \ left (2r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right) = 2 \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + 2r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i} } {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}el vine :
reud2reudt2=12d2(reu2)dt2-(dreudt)2{\ displaystyle r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} ^ {2} (r_ {i} ^ {2})} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2}}prin urmare, amintind de constanța masei în raport cu timpul:
∑eumeureud2reudt2=12∑eumeud2(reu2)dt2-∑eumeu(dreudt)2=12d2dt2(∑eumeureu2)-∑eumeu(dreudt)2(3){\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = { \ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} (r_ {i} ^ {2})} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ sum _ {i} m_ {i} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ left (\ sum _ {i} m_ {i } r_ {i} ^ {2} \ right) - \ sum _ {i} m_ {i} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ dreapta) ^ {2} \ quad (3)}Prin introducerea egalităților (2) și (3) în (1) , se obține:
-12∑eu≠jeu,jGmeumj|reu-rj|+∑eumeu(dreudt)2=12d2dt2(∑eumeureu2)(4){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} G {\ frac {m_ {i} m_ {j}} {| r_ { i} -r_ {j} |}} + \ sum _ {i} m_ {i} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ left (\ sum _ {i } m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ right) \ quad (4)}Recunoaștem în această ecuație:
Ep=-12∑eu≠jeu,jGmeumj|reu-rj|{\ displaystyle E_ {p} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} G {\ frac {m_ {i} m_ {j} } {| r_ {i} -r_ {j} |}}}Evs.=12∑eumeu(dreudt)2{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d } t}} \ right) ^ {2}}Eu=∑eumeureu2{\ displaystyle I = \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}Ecuația (4) este, prin urmare, rescrisă:
Ep+2Evs.=12d2Eudt2{\ displaystyle E_ {p} + 2E_ {c} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} I} {\ mathrm {d} t ^ {2}} }}Acum să luăm valoarea medie pe un interval de timp [t, t + Δt] al celor doi membri ai acestei ecuații:
<Ep>+2<Evs.> =12Δt∫tt+Δtdtd2Eudt2=1Δt∫tt+Δtdtddt∑eumeur→euv→eu=1Δt[(∑eumeur→euv→eu)t+Δt-(∑eumeur→euv→eu)t]{\ displaystyle <E_ {p}> + 2 <E_ {c}> = {\ frac {1} {2 \ Delta t}} \ int _ {t} ^ {t + \ Delta t} dt {\ frac { \ mathrm {d} ^ {2} I} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ Delta t}} \ int _ {t} ^ {t + \ Delta t } dt {\ frac {d} {dt}} \ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {r}} _ {i} {\ overrightarrow {v}} _ {i} = {\ frac {1 } {\ Delta t}} [(\ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {r}} _ {i} {\ overrightarrow {v}} _ {i}) _ {t + \ Delta t} - (\ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {r}} _ {i} {\ overrightarrow {v}} _ {i}) _ {t}]}
Având în vedere că dimensiunea sistemului rămâne delimitată în timp, precum și viteza fiecărui corp care compune sistemul (presupunând că distanța dintre două corpuri este delimitată mai jos, datorită dimensiunilor lor spațiale și în absența coliziunii directe), cei doi termeni din paranteză sunt delimitați. Partea dreaptă tinde deci la zero atunci când Δt tinde spre infinit. De aici rezultatul.
În fizica cuantică
State
2⟨T⟩=nu⟨V⟩{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle V \ rangle}
cu corespunde valorii medii a energiei cinetice
⟨T⟩{\ displaystyle \ langle T \ rangle}
și corespunde valorii medii a potențialului exprimat
⟨V⟩{\ displaystyle \ langle V \ rangle}V(X)=λ⋅Xnu{\ displaystyle V (x) = \ lambda \ cdot x ^ {n}}
Demonstrație
Să arătăm că :
⟨[H,XP]⟩=0{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = 0}
⟨[H,XP]⟩=⟨ϕ|HXP|ϕ⟩-⟨ϕ|XPH|ϕ⟩{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = \ langle \ phi | HXP | \ phi \ rangle - \ langle \ phi | XPH | \ phi \ rangle}Acum, șiH|ϕ⟩=E|ϕ⟩{\ displaystyle H | \ phi \ rangle = E | \ phi \ rangle}⟨ϕ|H=E⟨ϕ|{\ displaystyle \ langle \ phi | H = E \ langle \ phi |}
Deci (1)
⟨[H,XP]⟩=E⟨ϕ|XP|ϕ⟩-E⟨ϕ|XP|ϕ⟩=0{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = E \ langle \ phi | XP | \ phi \ rangle -E \ langle \ phi | XP | \ phi \ rangle = 0}
Să lucrăm la :
[H,XP]{\ displaystyle [H, XP]}
[H,XP]=HXP-XPH=HXP-XHP+XHP-XPH{\ displaystyle [H, XP] = HXP-XPH = HXP-XHP + XHP-XPH}Deci, (2)
[H,XP]=[H,X]P+X[H,P]{\ displaystyle [H, XP] = [H, X] P + X [H, P]}
Express și :
[H,X]{\ displaystyle [H, X]}[H,P]{\ displaystyle [H, P]}
[H,X]=-[X,H]=-[X,P2]2m=-euℏ⋅Pm{\ displaystyle [H, X] = - [X, H] = {\ frac {- [X, P ^ {2}]} {2m}} = {\ frac {-i \ hbar \ cdot P} {m }}}
[H,P]=[V(X),P]=euℏ∂V∂X{\ displaystyle [H, P] = [V (x), P] = i \ hbar {\ frac {\ partial V} {\ partial x}}} (3)
Să revenim la :
⟨[H,XP]⟩=0{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = 0}
Folosind (2), găsim:
0=⟨[H,X]P⟩+⟨X[H,P]⟩{\ displaystyle 0 = \ langle [H, X] P \ rangle + \ langle X [H, P] \ rangle}În mod similar, folosind (3), găsim
⟨P2m⟩=nu⟨V⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {P ^ {2}} {m}} \ right \ rangle = n \ langle V \ rangle}De aici rezultatul scontat:
2⟨T⟩=nu⟨V⟩{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle V \ rangle}În termodinamică
Aplicații
În astrofizică
Mai general, teorema virială este utilizată pe scară largă în astrofizică . În special, poate fi folosit pentru a estima limita Chandrasekhar asupra masei piticilor albi.
Teorema virială este utilizată pe scară largă în dinamica galactică . De exemplu, face posibilă obținerea rapidă a unui ordin de mărime al masei totale M a unui cluster stelar dacă cunoaștem viteza medie V a stelelor din cluster și distanța medie R între două stele ale clusterelor, care poate poate fi estimat din observații:
- E c ~ ½MV²
- E p ~ - GM² / 2R
Factorul 1/2 din E p provine din faptul că pentru un sistem de particule este necesar să se evite numărarea de două ori a energiei potențiale asociate cuplului.
Apoi vine 2E c = - E p ⟺ M = 2RV² / G
Enigmă din materia întunecată
Deoarece este posibil să se determine și masa stelelor vizibile din luminozitatea lor , putem compara masa totală obținută de teorema virială cu masa vizibilă. Fritz Zwicky a fost primul care a făcut acest calcul și a observat o diferență considerabilă (factor 10 pe scara de galaxii și factor de 100 pe scara clusterelor) între cele două cantități, ceea ce a condus astrofizicieni să -și asume existența materiei. Negru , adică nu detectabile de instrumente. Singura altă explicație posibilă ar fi că legea gravitației nu este valabilă pe scară largă, dar niciun cablu în această direcție nu a dat niciun rezultat până în prezent.
Putem arăta că această materie întunecată domină masa galaxiilor din afara discului lor , în halou, unde se extinde până la 100-200 kiloparseci (kpc) - împotriva a 10-20 kpc pentru masa vizibilă.
În termodinamică
Note și referințe
-
(De) Rudolf Clausius, " Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz " , Annalen der Physik , vol. 141,1870, p. 124–130 ( citește online )
(ro) Rudolf Clausius, „ Cu privire la o teoremă mecanică aplicabilă căldurii ” , Revista filozofică, Ser. 4 , vol. 40,1870, p. 122–127
-
Definiții lexicografice și etimologice ale „viriel” din trezoreria computerizată a limbii franceze , pe site-ul web al Centrului Național pentru Resurse Textuale și Lexicale .
-
(în) Collins GW, The virial Theorem in Stellar Astrophysics , Pachart Press,1978( prezentare online )
-
(în) Chandrasekhar S, Introducere în studiul structurii stelare , Chicago, University of Chicago Press ,1939, p. 49-53
-
(în) Kourganoff V, Introducere în astrofizică avansată , Dordrecht, Olanda, D. Reidel,1980, p. 59–60, 134–140, 181–184
Link extern
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">