Teorema lui Vaschy-Buckingham
În matematică , teorema Vaschy-Buckingham sau teorema Pi este una dintre teoremele de bază ale analizei dimensionale . Această teoremă stabilește că, dacă o ecuație fizică implică n variabile fizice, acestea fiind dependente de k unități fundamentale , atunci există o ecuație echivalentă care implică variabile adimensionale construite din variabilele originale.
nu-k{\ displaystyle nk}
Deși poartă numele fizicienilor Aimé Vaschy și Edgar Buckingham , această teoremă a fost demonstrată pentru prima dată de matematicianul francez Joseph Bertrand în 1878.
Declarația lui Vaschy
Sunt , , , ... de cantități fizice, prima sunt raportate la unități de bază distincte și ultimele cele ale unităților derivate din unitățile fundamentale ( de exemplu , poate fi o lungime, masă, timp și alte cantități , ... ar fi forțe, viteze etc.; apoi ). Dacă între aceste cantități există o relație:
la1{\ displaystyle a_ {1}}la2{\ displaystyle a_ {2}}la3{\ displaystyle a_ {3}}lanu{\ displaystyle a_ {n}}p{\ displaystyle p}(nu-p){\ displaystyle (np)}p{\ displaystyle p}la1{\ displaystyle a_ {1}}la2{\ displaystyle a_ {2}}la3{\ displaystyle a_ {3}}(nu-3){\ displaystyle (n-3)}la4{\ displaystyle a_ {4}}la5{\ displaystyle a_ {5}}lanu{\ displaystyle a_ {n}}p=3{\ displaystyle p = 3}nu{\ displaystyle n}
F(la1,la2,...lanu)=0,{\ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {n}) = 0,}care subzistă indiferent de dimensiunile arbitrare ale unităților fundamentale, această relație poate fi redusă la alta în parametri cel mult, și anume:
(nu-p){\ displaystyle (np)}
f(X1,X2,...Xnu-p)=0,{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {np}) = 0,}setări , ... fiind funcții monomiale , ... (adică cu ).
X1{\ displaystyle x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}Xnu-p{\ displaystyle x_ {np}}la1{\ displaystyle a_ {1}}la2{\ displaystyle a_ {2}}lanu{\ displaystyle a_ {n}}X1=LA.la1α1la2α2...lanuαnu{\ displaystyle x_ {1} = A.a_ {1} ^ {\ alpha 1} a_ {2} ^ {\ alpha 2} \ ldots a_ {n} ^ {\ alpha n}}αeu∈R{\ displaystyle \ alpha _ {i} \ in \ mathbb {R}}
Exemplu
În dinamica fluidelor, cele mai multe situații depind de următoarele zece mărimi fizice:
Aceste zece cantități sunt definite prin trei dimensiuni, ceea ce face posibilă definirea 10-3 = 7 numere adimensionale independente. Variabilele care vor apărea cel mai probabil ca dimensionare sunt V , ρ și l , care vor fi deci alese din acest motiv ca noi cantități de bază.
Deducem numerele adimensionale care depind de acesta:
π1=ΔpρV2=VSP{\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ frac {{\ Delta} p} {{\ rho} V ^ {2}}} = C_ {P}},
coeficient de presiune
π2=Vgl=Fr{\ displaystyle \ pi _ {2} = {\ frac {V} {\ sqrt {gl}}} = \ mathrm {Fr}},
Numărul Froude
π3=Vlρμ=Re{\ displaystyle \ pi _ {3} = {\ frac {Vl \ rho} {\ mu}} = \ mathrm {Re}},
Numărul Reynolds
π4=V2lρσ=We{\ displaystyle \ pi _ {4} = {\ frac {V ^ {2} l \ rho} {\ sigma}} = \ mathrm {We}},
Numărul Weber
π5=VKρ=Mla{\ displaystyle \ pi _ {5} = {\ frac {V} {\ sqrt {\ frac {K} {\ rho}}}} = \ mathrm {Ma}},
Numărul Mach
π6=lD{\ displaystyle \ pi _ {6} = {\ frac {l} {D}}}, raportul lungime / diametru
π7=εD{\ displaystyle \ pi _ {7} = {\ frac {\ varepsilon} {D}}}, rugozitate relativă.
Demonstrație Vaschy
Pentru a demonstra teorema enunțată mai sus, observați că cantitățile , ... fiind raportate în unități derivate, aceasta înseamnă că se pot găsi expozanți , ... , ... cum ar fi rapoartele de valori digitale
lap+1{\ displaystyle a_ {p + 1}}lap+2{\ displaystyle a_ {p + 2}}lanu{\ displaystyle a_ {n}}α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}α′{\ displaystyle \ alpha '}β′{\ displaystyle \ beta '}
lap+1la1αla2β...lapλ=X1, lap+2la1α′la2β′...lapλ′=X2,...,{\ displaystyle {\ frac {a_ {p + 1}} {a_ {1} ^ {\ alpha} a_ {2} ^ {\ beta} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda}}} = x_ {1 }, \ \ {\ frac {a_ {p + 2}} {a_ {1} ^ {\ alpha '} a_ {2} ^ {\ beta'} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda '}}} = x_ {2}, \ ldots,}să fie independent de valorile arbitrare ale unităților fundamentale. (Astfel , , , ceea ce denotă o lungime, masă, timpul și puterea, raportul , de exemplu, ar avea o valoare independentă de alegerea unităților). Cu toate acestea, relația:
la1{\ displaystyle a_ {1}}la2{\ displaystyle a_ {2}}la3{\ displaystyle a_ {3}}la4{\ displaystyle a_ {4}}la4la1la2la3-2{\ displaystyle {\ frac {a_ {4}} {a_ {1} a_ {2} a_ {3} ^ {- 2}}}}
F(la1,la2,...lap,lap+1,lap+2,...)=0,{\ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {p}, a_ {p + 1}, a_ {p + 2}, \ ldots) = 0,}se poate scrie:
F(la1,la2,...lap,X1la1αla2β...lapλ,X2la1α′la2β′...lapλ′,...)=0.{\ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {p}, x_ {1} a_ {1} ^ {\ alpha} a_ {2} ^ {\ beta} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda}, x_ {2} a_ {1} ^ {\ alpha '} a_ {2} ^ {\ beta'} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda '}, \ ldots) = 0.}Dar, prin variația dimensiunilor unităților fundamentale, putem face să variați în mod arbitrar valorile numerice ale mărimilor , ... , ale căror valori intrinseci sunt presupuse fixe, în timp ce valorile digitale , ... nu se vor schimba. Relația anterioară pentru a supraviețui oricare ar fi valorile arbitrare , ... , trebuie să fie independentă de acești parametri; această relație ia astfel forma cea mai simplă:
la1{\ displaystyle a_ {1}}la2{\ displaystyle a_ {2}}lap{\ displaystyle a_ {p}}X1{\ displaystyle x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}Xnu-p{\ displaystyle x_ {np}}la1{\ displaystyle a_ {1}}la2{\ displaystyle a_ {2}}lap{\ displaystyle a_ {p}}
f(X1,X2,...Xnu-p)=0.{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {np}) = 0.}
Generalizare
În declarația lui Vaschy, primele cantități trebuie să fie legate de unități fundamentale distincte. Generalizarea constă pur și simplu în a considera că primele mărimi sunt independente dimensional, adică dimensiunile acestor mărimi nu pot fi scrise ca o funcție monomială a dimensiunilor celorlalte mărimi. De exemplu, să luăm 4 mărimi fizice, o densitate de volum , o zonă , o viteză și o accelerație . Variabilele , și sunt independente dimensional; pe de altă parte , variabilele , și nu sunt, pentru că .
p{\ displaystyle p}p{\ displaystyle p}ρ{\ displaystyle \ rho}LA{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}la{\ displaystyle a}ρ{\ displaystyle \ rho}LA{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}LA{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}la{\ displaystyle a}[la]=[V]2[LA]-1/2{\ displaystyle [a] = [V] ^ {2} [A] ^ {- 1/2}}
Originea numelui „Teorema Π”
Această teoremă se mai numește Teoremă Π deoarece în fizică este obișnuit să se utilizeze litera Π pentru variabilele fizice adimensionale care nu sunt denumite numerele Reynolds , Prandtl sau Nusselt . Așa sunt numiți în articolul din Buckingham.
Exemple de aplicații
Volumul unei sfere
Volumul unei sfere depinde doar de raza acesteia . Prin urmare, verifică o ecuație .
V{\ displaystyle V}R{\ displaystyle R}F(V,R)=0{\ displaystyle F (V, R) = 0}
În unitatea SI , cele 2 variabile sunt dimensionate în și . Ecuația are 2 variabile și și o singură unitate .
[V]=[L]3{\ displaystyle [V] = [L] ^ {3}}[R]=[L]{\ displaystyle [R] = [L]}V{\ displaystyle V}R{\ displaystyle R}[L]{\ displaystyle [L]}
Conform teoremei, există o funcție astfel încât , unde este o constantă adimensională.
f{\ displaystyle f}f(LA,R)=0{\ displaystyle f (A, R) = 0}LA{\ displaystyle A}
Pentru a găsi funcția , trebuie să găsiți un cuplu astfel încât . Fie: . Putem luaf{\ displaystyle f}(α,β){\ displaystyle ({\ alpha}, {\ beta})}[V]α.[R]β=1{\ displaystyle [V] ^ {\ alpha}. [R] ^ {\ beta} = 1}[L]3α.[L]β=[L]0{\ displaystyle [L] ^ {3 {\ alpha}}. [L] ^ {\ beta} = [L] ^ {0}}(α,β)=(1,-3){\ displaystyle ({\ alpha}, {\ beta}) = (1, -3)}
Funcția este apoi scrisă . Constatăm că rezultatul este o constantă fără dimensiune (a cărei valoare este ).
f{\ displaystyle f}f(V1R3,R)=0{\ displaystyle f ({\ frac {V ^ {1}} {R ^ {3}}}, R) = 0}VR3=LA{\ displaystyle {\ frac {V} {R ^ {3}}} = A}4π3{\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3}}}
Sport
Utilitatea teoremei Vaschy-Buckingham în afara fizicii nu este exclusă, dar nu a fost studiată în detaliu. A fost aplicat în 2020 în domeniul științei sportive.
Note și referințe
Note
-
Rezultă, printre altele, că până la 5%, volumul unei sfere, indiferent dacă funcționează în femometri sau în ani lumină, este egal cu jumătate din cubul diametrului său.
Referințe
-
Aimé Vaschy , „ Despre legile asemănării în fizică ”, Annales Télégraphiques , vol. 19,Ianuarie-februarie 1892, p. 25-28.
-
(în) Edgar Buckingham , „ Noi sisteme similare din punct de vedere FIZIC. Ilustrații ale utilizării ecuațiilor dimensionale ” , Physical Review , vol. 4, n o 4,1914, p. 345-376.
-
Joseph Bertrand , „ Despre omogenitate în formulele fizicii ”, Proceedings , vol. 86, nr . 15,1878, p. 916–920 ( citește online ).
-
(în) Grigory Isaakovich Barenblatt, scalare, auto-similitudine și asimptotici intermediari: analiză dimensională și asimptotici intermediari , vol. 14, Cambridge University Press ,1996, 408 p. ( ISBN 0-521-43516-1 ).
-
Julien Blondeau , „ Influența dimensiunii terenului, a dimensiunii golurilor și a numărului de jucători asupra numărului mediu de goluri înscrise pe meci în variantele de fotbal și hochei: teorema Pi aplicată sporturilor de echipă ”, Journal of Quantitative Analysis in sports , În plus, trebuie să știți mai multe despre asta.2020( citește online )
Vezi și tu
Articole similare
linkuri externe
Bibliografie
(ro) Tatjana Misic, Marina Najdanovic-Lukic și Ljubisa Nesic, „ Analiza dimensională în fizică și teorema Buckingham ” , European Journal of Physics , vol. 31, nr . 4,2010, p. 893-906 ( DOI doi: 10.1088 / 0143-0807 / 31/4/019 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">