Teorema Herbrand-Ribet

Teorema Herbrand - Ribet întărește teorema Kummer în care numărul prim p divide numărul de clase ale corpului cyclotomic al rădăcinilor p - lea de unitate dacă și numai dacă p divide numărătorul n - lea număr Bernoulli B n pentru un anumit întreg n strict între 0 și p -1. Teorema Herbrand-Ribet specifică ce înseamnă, în special, posibila divizibilitate cu p a lui B n .

Grupul Galois al câmpului cyclotomic rădăcinilor p -ths de unitate pentru un număr prim impar p , ℚ (ζ) cu , este format din elemente , în cazul în care este definit prin faptul că . Ca o consecință a teoremei lui Fermat , în inelul numerelor întregi p-adic ℤ p , avem rădăcini ale unității, fiecare dintre ele fiind congruentă mod p la un anumit număr în intervalul 1 până la p - 1; prin urmare, putem defini un caracter Dirichlet ( caracterul Teichmüller) cu valori în ℤ p prin necesitatea ca pentru n prim să p , ω ( n ) să fie congruent cu n modul p . Componenta p a grupului de clase, adică subgrupul acestui grup format din elementele ale căror ordine sunt puteri ale lui p , este un modul ℤ p și putem aplica elementele inelului ℤ p [Σ] către acesta și să obțină elementele grupului de clase. Acum putem defini un element idempotent al inelului pentru fiecare n de la 1 la p - 1, cum ar fi $\ Sigma$ $\ zeta ^ {p} = 1$ $p-1$ $\ sigma _ {a}$ $\ sigma _ {a}$ $\ sigma _ {a} (\ zeta) = \ zeta ^ {a}$ $p-1$ $\omega$

{\ displaystyle \ epsilon _ {n} = {\ frac {1} {p-1}} \ sum _ {a = 1} ^ {p-1} \ omega (a) ^ {n} \ sigma _ {a } ^ {- 1}}

Acum putem separa componenta p a grupului G de clasele ideale de ℚ (ζ) prin identificarea idempotenților; dacă G este grupul de clase ideale, atunci . ${\ displaystyle G_ {n} = \ epsilon _ {n} (G)}$

Apoi, avem teorema Herbrand-Ribet: nu este banală dacă și numai dacă p împarte numărul Bernoulli . Partea care exprimă p se divide dacă este non-banală se datorează lui Jacques Herbrand . Conversația (dacă este împărțită atunci este non-banală) se datorează lui Ken Ribet și este considerabil mai dificilă. Prin teoria câmpurilor de clasă , acest lucru este posibil numai dacă există o extensie neramificată a câmpului rădăcinilor- a unității printr-o extensie ciclică de grad care se comportă în modul prescris sub acțiunea lui ; Ribet a demonstrat acest lucru în 1976, cu o construcție concretă a unei astfel de extensii. $G_ {n}$ $B _ {{pn}}$ $B _ {{pn}}$ $G_ {n}$ $p$ $B _ {{pn}}$ $G_ {n}$ $p$ $p$ $\ Sigma$

Vezi și tu

Teoria Iwasawa

Note și referințe

(ro) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia în engleză intitulat „ Herbrand - Ribet theorem ” (a se vedea lista autorilor ) .

Numită mai degrabă componenta p sau componenta p- primară. A se vedea de exemplu J.-P. Serre, Œuvres, Collected papers , vol. 1, Springer, 2003, parțial căutabil pe Google books , p. 178, nota 3. Componenta p- primară a unui grup Abelian finit este singurul grup p -sous-Sylow din acest grup.