Pictura Wythoff

În matematică, tabelul Wythoff este o matrice infinită de numere întregi asociate cu secvența Fibonacci , numită după matematicianul olandez Willem Abraham Wythoff . Acest tabel arată orice număr întreg strict pozitiv exact o singură dată, iar orice secvență întreagă definită de recurența Fibonacci posibil trunchiată de un număr finit de termeni apare ca un rând al tabelului.

Tabelul Wythoff a fost definit de Morrison în 1980 folosind perechile Wythoff, coordonatele pozițiilor câștigătoare în jocul lui Wythoff . Kimberling a dat apoi o definiție folosind teorema lui Zeckendorf .

Primele valori

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & \ cdots \\ 4 & 7 & 11 & 18 & 29 & 47 & 76 & \ cdots \\ 6 & 10 & 16 & 26 & 42 & 68 & 110 & \ cdots \\ 9 & 15 & 24 & 39 & 63 & 102 & 165 & \ cdots \\ 12 & 20 & 32 & 52 & 84 & 136 & 220 & \ cdots \\ 14 & 23 & 37 & 60 & 97 & 157 & 254 & \ cdots \\ 17 & 28 & 45 & 73 & 118 & 191 & 309 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \\\ end {matrix}}}

În urma A035513 a OEIS .

Definiții

Definiție de cuplurile Wythoff

Inspirat de o pictură pe care Stolarsky a definit-o mai devreme, Morrison definește pictura lui Wythoff după cum urmează.

Poziția a câștigătoare în jocul lui Wythoff este dată de perechea de numere întregi pozitive , unde este raportul auriu ; cele două coordonate ale sale definesc două secvențe Beatty complementare care includ împreună orice număr întreg strict pozitiv o dată exact. $eu$ ${\ displaystyle (\ lfloor i \ varphi \ rfloor, \ lfloor i \ varphi ^ {2} \ rfloor)}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

Primele două numere din rândul tabelului sunt apoi cele două elemente ale cuplului Wythoff date de relație , iar restul numerelor din rând sunt determinate de relația de recurență Fibonacci. Cu alte cuvinte, dacă denotă coeficientul rândului și coloanei tabelului: $m$ ${\ displaystyle i = \ lfloor m \ varphi \ rfloor}$ ${\ displaystyle A_ {m, n}}$ $m$ $nu$

{\ displaystyle A_ {m, 1} = \ left \ lfloor \ lfloor m \ varphi \ rfloor \ varphi \ right \ rfloor}

{\ displaystyle A_ {m, 2} = \ left \ lfloor \ lfloor m \ varphi \ rfloor \ varphi ^ {2} \ right \ rfloor}

, și

{\ displaystyle A_ {m, n} = A_ {m, n-2} + A_ {m, n-1}}

pentru .

n> 2

O formulă valabilă pentru orice este . $(m, n)$ ${\ displaystyle A_ {m, n} = (m-1) F_ {n} + \ left \ lfloor m \ varphi \ right \ rfloor F_ {n + 1}}$

Definiție prin reprezentare Zeckendorf

Reprezentarea Zeckendorf a oricărui număr întreg strict pozitiv este o scriere unică ca suma termenilor non-consecutivi și non-zero ai secvenței Fibonacci. După cum a observat Kimberling, termenii din rândurile tabelului au o reprezentare Zeckendorf ale cărei termeni se schimbă regulat în secvența Fibonacci, iar termenii din coloane au reprezentări Zeckendorf având același termen mai mic.

De exemplu, în al doilea rând, 4 = 1 + 3, 7 = 2 + 5, 11 = 3 + 8 etc. Și în a doua coloană, 7 = 2 + 4, 10 = 2 + 8, 15 = 2 + 13, 20 = 2 +5 +13 cu . ${\ displaystyle 2 = F_ {3}}$

Mai general, dacă clasificăm în ordine crescătoare numerele a căror reprezentare Zeckendorf începe cu numărul indicelui Fibonacci , termenul tabelului este al -th-lea dintre ele. $n + 1$ ${\ displaystyle A_ {m, n}}$ $m$

Proprietăți

Fiecare pereche Wythoff apare exact o dată în tabelul Wythoff, cu un indice impar pentru primul număr și un indice par pentru al doilea. Fiecare număr întreg pozitiv care apare în exact o pereche Wythoff, fiecare număr întreg pozitiv apare exact o dată în tabel.

Fiecare secvență de numere întregi pozitive care îndeplinește recurența Fibonacci apare în tabelul Wythoff, deplasat cu cel mult un număr finit de poziții. În special, secvența Fibonacci în sine este în primul rând, iar secvența Lucas apare deplasată în al doilea.

Referințe

(ro) Stolarsky, KB, " Un set de secvențe Fibonacci generalizate, astfel încât fiecare număr natural să aparțină exact unuia " , Fibonacci Quarterly, 15 (3): 224 ,1977( citește online )
(în) Morrison CD, „ A Stolarsky array of Wythoff peers ” , A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence, Santa Clara, California: The Fibonacci Association ,1980, p. 134-136 ( citește online )
(în) Kimberling, Clark, „ Matricea Zeckendorf este egală cu matricea Wythoff ” , Fibonacci Quarterly, 33 (1) ,1995, p. 3-8 ( citiți online )

Link extern

Weisstein, Eric W. „ Wythoff Array ”. MathWorld.