În matematică , simbolul Schläfli este o notație a formei {p, q, r, ...} care permite definirea poliedrelor și a plăcilor regulate . Această notație oferă un rezumat al unor proprietăți importante ale unui anumit politop obișnuit .
Simbolul Schläfli a fost numit în onoarea matematicianului al XIX - lea secol Ludwig Schläfli care a adus contribuții importante în geometrie și în alte domenii.
Simbolul Schläfli pentru un poligon regulat convex cu n laturi este { n }. De exemplu, un pentagon regulat este reprezentat de {5}.
Pentru a reprezenta poligoane stelare , se folosesc fracții. Astfel, pentagrama , care este pentagonul stelar, este reprezentată de {5/2}, ceea ce înseamnă că acest poligon are 5 muchii și că fiecare dintre aceste margini conectează vârfurile numărului s și s + 2. Astfel prima margine conectează primul și al treilea vârf, al doilea al treilea și al cincilea ...
Simbolul Schläfli al unui poliedru regulat este { p , q } dacă fețele sale sunt p -gone și fiecare vârf este înconjurat de q fețe ( figura vertexului este un q -gone).
De exemplu, {5.3} este dodecaedrul obișnuit. Are fețe pentagonale și trei pentagone în jurul fiecărui vârf.
Vezi cele 5 solide ale lui Platon , cele 4 solide ale lui Kepler-Poinsot .
Simbolurile Schläfli pot fi, de asemenea, definite pentru placări regulate ale spațiilor euclidiene sau hiperbolice într-un mod similar.
De exemplu, teselarea hexagonală este reprezentată de {6.3}. Este într-adevăr format din hexagoane și fiecare dintre vârfuri este înconjurat de alte trei.
Simbolul Schläfli pentru un policor regulat este de forma { p , q , r }. Are fețe poligonale regulate { p }, celule { p , q }, figuri de vârf poliedrice regulate { q , r } și figuri de margine poligonale regulate { r }.
Vezi cele șase policori convexe regulate și cele zece neconvexe .
De exemplu, celula 120 este reprezentată de {5,3,3}. Este construit de celule dodecaedrice {5.3} și are 3 celule în jurul fiecărei margini.
Există, de asemenea, o teselare regulată a spațiului 3 euclidian: fagurele cubic (en) , cu un simbol Schläfli de {4,3,4}, format din celule cubice și 4 cuburi în jurul fiecărei margini.
Există, de asemenea, patru plăci regulate, inclusiv hiperbolic {5,3,4}, fagurele dodecaedric de ordinul 4 (en) , care umple spațiul cu celule dodecaedrice .
Pentru polytopes de dimensiuni mai mari, simbolul Schläfli este definit recursiv ca: în cazul în care fațetele au un simbol Schläfli , iar partea de sus a cifrelor : .
Există doar 3 politopi obișnuiți în 5 dimensiuni și peste: simplexul , {3, 3, 3, ..., 3}; hyperoctahedron , {3, 3, ..., 3, 4}; și hipercubul , {4, 3, 3, ..., 3}. Nu există politopi neconveși obișnuiți peste 4 dimensiuni.
Pentru dimensiunea 2 sau mai mare, fiecare politop are un dual .
Dacă un politop are un simbol Schläfli, atunci dualul său are un simbol Schläfli .
Dacă secvența este aceeași la stânga și la dreapta, politopul este auto-dual . Fiecare politop bidimensional (poligon) obișnuit este autodual, fiecare simplex este autodual, fiecare piramidă tridimensională este autoduală, iar celula 24 este autoduală.
Politopii prismatici pot fi definiți și denumiți ca un produs cartezian al politopilor de dimensiuni mai mici:
O prismă poate fi , de asemenea , reprezentat ca trunchierea unui hosoedron (in) cum ar fi .
The polytopes uniform (ro) , construite dintr - o construcție Wythoff sunt reprezentate de un rating trunchiere măsură dintr - o formă regulată {p, q, ...}. Există o serie de forme simbolice paralele care fac referire la elementele simbolului Schläfli , discutate de dimensiunile de mai jos.
Pentru poliedre, un simbol Schläfli extins este utilizat în articolul enumerativ din 1954 al lui Coxeter intitulat Poliedre uniforme .
Fiecare poliedru regulat sau teselare {p, q} are 7 forme, inclusiv forma regulată și duala sa, corespunzătoare pozițiilor din triunghiul dreptunghiular fundamental. O a opta formă specială, cele înmuiate , corespund unei alternanțe (în) a formei omnitronizate.
De exemplu, t {3.3} înseamnă pur și simplu un tetraedru trunchiat .
O a doua notație mai generală, utilizată și de Coxeter, se aplică tuturor dimensiunilor și este specificată de un t urmat de o listă de indici care corespund oglinzilor de construcție Wythoff (acestea corespund și nodurilor inelate într-o diagramă Coxeter-Dynkin ).
De exemplu, cubul trunchiat poate fi reprezentat de t 0.1 {4.3} și poate fi văzut ca la jumătatea distanței dintre cub , t 0 {4.3} și cuboctaedrul , t 1 {4.3}.
În fiecare, este dat mai întâi un nume care desemnează funcționarea construcției Wythoff. În al doilea rând, unele au o terminologie alternativă (dată între paranteze) care se aplică doar unei dimensiuni date. Tocmai, omnitroncatura (en) și dezvoltarea (en) , relațiile duale aplicându-se diferit în fiecare dimensiune.
Interventie chirurgicala | Simboluri Schläfli extinse |
Diagrama lui Coxeter- Dynkin |
Simbolul Wythoff |
|
---|---|---|---|---|
Mamă | t 0 {p, q} | q | 2 p | ||
Rectificat ( Aproape regulat) |
t 1 {p, q} | 2 | pq | ||
Birectificat (sau dual ) |
t 2 {p, q} | p | 2 q | ||
Trunchiat (în) | t 0,1 {p, q} | 2 q | p | ||
Bitronqué ( sau dual trunchiat) |
t 1,2 {p, q} | 2 p | q | ||
Tevit (în) (sau dezvoltat (în) ) |
t 0,2 {p, q} | pq | 2 | ||
Truncat-conic (sau omnitronqué (în) ) |
t 0,1,2 {p, q} | 2 buc | | ||
Inmuiat (in) | s {p, q} | | 2 buc |
Există cel mult 15 forme trunchiate pentru policori și faguri de miere bazate pe fiecare formă regulată {p, q, r}.
A se vedea articolele fagure de miere uniforme policorice și convexe (ro) .
Notarea cu indicele t este paralelă cu diagrama grafică Coxeter-Dynkin , al cărei nod grafic reprezintă cele 4 hiperplanuri de reflexii oglindă din domeniul fundamental .
Interventie chirurgicala | Simboluri Schläfli extinse |
Diagrama lui Coxeter- Dynkin |
---|---|---|
Mamă | t 0 {p, q, r} | |
Corectat (ro) | t 1 {p, q, r} | |
Birectificat (sau dublu rectificat) |
t 2 {p, q, r} | |
Trirectificat (sau dual ) |
t 3 {p, q, r} | |
Trunchiat (în) | t 0,1 {p, q, r} | |
Bitronqué (ro) | t 1,2 {p, q, r} | |
Tritronqué (sau dual trunchiat) |
t 2,3 {p, q, r} | |
Tevit (in) | t 0,2 {p, q, r} | |
Bi-teșit (sau dublu teșit) |
t 1,3 {p, q, r} | |
Dezvoltat (în) | t 0,3 {p, q, r} | |
Tevat-trunchiat | t 0,1,2 {p, q, r} | |
Bi-teșit-trunchiat (sau dublu teșit-trunchiat) |
t 1,2,3 {p, q, r} | |
Dezvoltat | t 0,1,3 {p, q, r} | |
Dezvoltat-teșit (sau dual dezvoltat-trunchiat) |
t 0,2,3 {p, q, r} | |
Dezvoltat-teșit-trunchiat (sau omnitronqué (en) ) |
t 0,1,2,3 {p, q, r} |