Suprafata minima catalana

În geometria diferențială , o suprafață minimă catalană este o suprafață minimă care a fost studiată de Eugene Charles Catalan în 1855 .

Suprafața are pentru ecuații parametrice :

{\ displaystyle {\ begin {align} x (u, v) & = a (2u- \ sin (2u) \ cosh (2v)) \\ y (u, v) & = a (1- \ cos (2u ) \ cosh (2v)) \\ z (u, v) & = 4a \ sin (u) \ sinh (v). \ end {align}}}

Dacă introducem parametrizarea de mai sus, vom obține: ${\ displaystyle r = \ sinh (v)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} x (u, v) & = a (2u- (1 + 2r ^ {2}) \ sin (2u)) \\ y (u, v) & = a (1- (1 + 2r ^ {2}) \ cos (2u)) \\ z (u, v) & = 4ar \ sin (u). \ End {align}}}

Liniile cu parametrul fix se proiectează pe plan în trohi . ${\ displaystyle r = r_ {0}}$ $xOy$
Liniile cu parametrul fix, sunt parabole . ${\ displaystyle u = u_ {0}}$
Secțiunea suprafeței de către plan (adică ) este o cicloidă . $xOy$ ${\ displaystyle r = 0}$

linkuri externe

Robert Ferréol, „ Minimal Catalan surface ” , pe mathcurve
(ro) Eric W. Weisstein , „ Catalan's Surface ” , pe MathWorld
(ro) Weiqing Gu, „ Suprafața minimă a catalanii ” , pe Biblioteca suprafețelor

Bibliografie

(ro) Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt (de) și Friedrich Sauvigny (de) , Minimal Surfaces , vol. 1, Berlin, Springer, col. „ Grundl. matematica. Wiss. "( N o 339)2010, 692 p. ( ISBN 978-3-642-11697-1 , citit online ) , p. 171 mp

Referințe

E. Catalan, „Memorie pe suprafețe ale căror raze de curbură în fiecare punct sunt egale și semnele sunt opuse”, C. r. săptămânal Sesiuni Acad. știință , zbor. 41, 1855, p. 1019-1023 și 1155 [ citiți online ] .
(în) Alfred Gray , Geometria diferențială modernă a curbelor și suprafețelor cu Mathematica , Boca Raton, CRC Press , ediția a 2- a , 1997, p. 692-693 („Suprafața minimă a catalanii”) .