Stabilitatea filtrelor liniare

În electronică , un filtru electric liniar este o interconectare a dipolilor electrici liniari ( condensator , rezistență , ...), astfel încât să se modifice un semnal. Obținem astfel un filtru liniar .

Semnalul de la ieșirea unui astfel de ansamblu este, prin urmare, transformat. De fapt, aceste filtre sunt utilizate pentru a selecta anumite frecvențe ale unui semnal, adică pentru a atenua amplitudinea anumitor frecvențe și, eventual, pentru a amplifica altele. Pentru a îmbunătăți selectivitatea filtrelor, pe lângă dipolii pasivi, sunt utilizate componente active, cum ar fi amplificatoare operaționale .

Dacă un filtru electric pasiv este încă stabil, adăugarea de componente active poate schimba acest comportament. Într-adevăr, ele injectează energie în circuit, ceea ce poate contracara pierderile de energie și poate face ansamblul instabil.

Exemplu simplu

Un semnal electric e (t) este aplicat la ambele capete ale unui circuit format dintr-un rezistor și un condensator conectat în serie.

Rezistorul, R și condensatorul, C, sunt supuși unei tensiuni dependente de timp e.

Un semnal filtrat este recuperat la terminalele unuia dintre dipoli. De exemplu, putem indica s (t) tensiunea pe condensator. Putem stabili ecuația diferențială care leagă s de semnalul de intrare:

{\ displaystyle {\ frac {ds} {dt}} + {\ frac {1} {RC}} s = {\ frac {1} {RC}} e}

La frecvență înaltă ,. Apoi, s este neglijabil înainte și putem considera ca o primă aproximare că semnalul de ieșire este o primitivă a semnalului de intrare: vorbim de „integrator”. Cu toate acestea, acest semnal are o amplitudine foarte mică: ${\ displaystyle f \ gg {\ frac {1} {RC}}}$ ${\ displaystyle RC {\ frac {ds} {dt}}}$

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {1} {RC}} \ int _ {0} ^ {t} e (t) dt}

La frecvență joasă, dimpotrivă, derivatul lui s este neglijabil. Ne găsim în cazul cvasi-staționar, iar semnalul trece complet: s = e .

Acesta este denumit filtru „low pass”, care privește semnalul de cele mai mari frecvențe.

Generalizare

Putem extinde aceste rezultate la mai multe ansambluri de acest tip conectate între ele, vorbim de ansamblu „2 RC”, apoi „3 RC”. Apoi arătăm în primul caz:

{\ displaystyle (RC) ^ {2} \ cdot {\ frac {d ^ {2} s (t)} {dt ^ {2}}} + 3RC {\ frac {ds (t)} {dt}} + s (t) = e (t)}

iar în al doilea,

{\ displaystyle (RC) ^ {3} \ cdot {\ frac {d ^ {3} s (t)} {dt ^ {3}}} + 6 (RC) ^ {2} \ cdot {\ frac {d ^ {2} s (t)} {dt ^ {2}}} + 5RC {\ frac {ds (t)} {dt}} + s (t) = e (t)}

În ambele cazuri, este un filtru „low pass”, dar de ordinul 2 și respectiv 3.

Putem forma, în cazul unui circuit „3 RC”, să formăm un oscilator prin buclarea sistemului astfel încât e = -29. s , este vorba despre un oscilator „cvasi sinusoidal”:

{\ displaystyle s (t) = A \ cdot cos (2 \ pi ft + \ varphi)}

Frecvența oscilațiilor este

{\ displaystyle f = {\ frac {\ sqrt {5}} {RC}}}

Amplitudinea semnalului este de fapt limitată, de efecte neliniare, care nu sunt luate în considerare în acest studiu simplificat.

Stabilitatea unui filtru

Stabilitatea unui filtru electric liniar de ordinul n se reduce la studiul rădăcinilor unui polinom cu coeficienți reali pozitivi de grad n, numit „polinom caracteristic” al ecuației diferențiale.

Spunem că un filtru este stabil dacă, atunci când semnalul de intrare este constant, semnalul de ieșire atinge - posibil după un timp de inducție - o valoare constantă.

Pentru ca un filtru să fie stabilă, este necesar și suficient ca n complex rădăcinile acestei polinomiale au o parte reală negativă, este apoi un polinom Hurwitz .

Ca urmare, studiul rădăcinilor unui polinom cu coeficienți reali a făcut obiectul unor studii aprofundate încă de la Descartes, apoi în special Charles Sturm , Routh și Hurwitz, apoi Jury și Fujiwara pentru filtre digitale (adică nu analogice) care sunt cele ale electronicii moderne.

Cazul unei ecuații de ordinul 2

Polinomul caracteristic poate fi scris:

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

Este un polinom Hurwitz dacă a , b și c sunt pozitive. Prin convenție, alegem c pozitiv, fără restricții de generalitate.

Putem interpreta acest lucru ca pe un echilibru energetic: pentru un circuit RLC , găsim:

a = L;
b = R;
c = 1 / C.

Acești termeni nu au legătură cu energia magnetică datorată inducției, 1/2 L I², energia electrică datorată condensatorului, 1/2 q² / C și energia termică disipată de efectul Joule prin rezistență: R I².

Cazul unei ecuații de ordine 3

Cazul unei ecuații de ordinul trei necesită o condiție mai subtilă: Acest polinom este Hurwitz dacă: ${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

a , b , c , d sunt pozitive;
( bc - anunț )> 0.

Coeficientul d> 0 poate fi interpretat ca o rezistență negativă dependentă de frecvență (FDNR), care injectează energie în circuit . Apoi, dacă , I nu mai este delimitat, filtrul este instabil. ${\ displaystyle -D \ omega ^ {2} I ^ {2}}$ ${\ displaystyle bc \ geq ad}$

Aceasta explică coeficientul 29 al oscilatorului cvasi-sinusoidal dat ca exemplu, care garantează stabilitatea acestuia.

Bibliografie

Wai-Kai Chen, Manual de circuite și filtre , CRC Press, 2003, ( ISBN 0-8493-0912-3 ) .
Benidir și Barrett, Stabilitatea filtrelor și a sistemelor liniare , Dunod, 1999, ( ISBN 2 10 004432 X ) .
M. Barret, Istoria de la Cauchy la Fujiwara a soluțiilor la problema localizării zerourilor unui polinom în planul complex , Prepublicarea Institutului de cercetare matematică avansată, vol. 22, Strasbourg 1996.
Jim Williams, Proiectarea circuitelor analogice (artă, știință și personalități) , Butterworth-Heinemann, 1991, ( ISBN 0-7506-9166-2 ) .

Note

Vezi și tu

Articole similare

Filtrează celula
Filtru liniar
Polinomul Hurwitz