Stabilitate EBSB
Stabilitatea EBSB este o formă particulară de stabilitate a sistemelor dinamice studiate în automate , în prelucrarea semnalelor și mai precis în inginerie electrică . EBSB înseamnă Bounded Input / Bounded Output: dacă un sistem este EBSB stabil, atunci pentru orice intrare mărginită , ieșirea sistemului este, de asemenea.
Starea domeniului de timp
Un sistem liniar invariant și în timp continuu a cărui funcție de transfer este rațională și strict adecvată este EBSB stabil dacă și numai dacă răspunsul său la impuls este absolut integrabil, adică dacă norma sa există:
L1{\ displaystyle L ^ {1}}
L1=∫-∞∞|h(t)|dt=‖h‖1<∞.{\ displaystyle L ^ {1} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (t) \ right | dt} = \ | h \ | _ {1} <\ infty.}
În timp discret, un sistem este EBSB stabil dacă și numai dacă răspunsul său la impuls este absolut sumabil, adică dacă norma sa există:
ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}
ℓ1=∑nu=-∞∞|h(nu)|=‖h‖1<∞.{\ displaystyle \ ell ^ {1} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (n) \ right |} = \ | h \ | _ {1} <\ infty .}
Demonstrație
Este oferit în timp discret, dar aceleași argumente se aplică în timp continuu.
Condiție necesară
Intrării delimitate corespunde ieșirii satisfăcătoare
X(nu)=semn(h(-nu)){\ displaystyle x (n) = \ operatorname {semn} (h (-n))}y(nu) {\ displaystyle y (n) \}
y(nu)=h(nu)∗X(nu) {\ displaystyle y (n) = h (n) * x (n) \}unde este produsul de convoluție, adică :
∗{\ displaystyle *}
y(nu)=∑k=-∞∞h(k)X(nu-k).{\ displaystyle y (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (k) x (nk)}.}În special y(0)=∑k=-∞∞h(k)X(-k)=∑k=-∞∞|h(k)|.{\ displaystyle y (0) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (k) x (-k)} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {| h (k) |}.}
Deci, deoarece este delimitat.
‖h‖1<∞{\ displaystyle \ | h \ | _ {1} <\ infty}y(0) {\ displaystyle y (0) \}
Stare suficientă
Luați în considerare o intrare mărginită, adică și presupuneți . Apoi ieșirea se satisface
‖X‖∞<∞{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} <\ infty}‖h‖1<∞{\ displaystyle \ | h \ | _ {1} <\ infty}y(nu) {\ displaystyle y (n) \}
|y(nu)|=|∑k=-∞∞h(nu-k)X(k)|≤∑k=-∞∞|h(nu-k)||X(k)|{\ displaystyle \ left | y (n) \ right | = \ left | \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (nk) x (k)} \ right | \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right | \ left | x (k) \ right |}}(prin
inegalitate triunghiulară )
≤∑k=-∞∞|h(nu-k)|‖X‖∞=‖X‖∞∑k=-∞∞|h(nu-k)|=‖X‖∞‖h‖1.{\ displaystyle \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right | \ | x \ | _ {\ infty}} = \ | x \ | _ { \ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right |} = \ | x \ | _ {\ infty} \ | h \ | _ {1} .}Așa este, de asemenea, mărginită.
|y(nu)|{\ displaystyle \ left | y (n) \ right |}
Starea domeniului de frecvență
Semnal continuu
Fie un sistem liniar invariant cu timp continuu a cărui funcție de transfer ar trebui să fie rațională . Notând polii ( rădăcinile complexe ale numitorului ) și abscisa de convergență definită de , arătăm că sistemul este stabil EBSB dacă și numai dacă .
H(p) {\ displaystyle H (p) \}peu {\ displaystyle p_ {i} \}σ {\ displaystyle \ sigma \}σ=maxRe(peu) {\ displaystyle \ sigma = \ max \ operatorname {Re} (p_ {i}) \}σ<0 {\ displaystyle \ sigma <0 \}
Dovadă
Deoarece este transformata Laplace a răspunsului la impuls ,
H(p) {\ displaystyle H (p) \} h(t) {\ displaystyle h (t) \}
H(p)=∫0∞e-pth(t)dt{\ displaystyle H (p) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- pt} h (t) dt}iar domeniul convergenței este semiplanul .
Re(p)>σ {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> \ sigma \}
Dacă sistemul este EBSB stabil, atunci este în și există convergență în de atunci
h(t) {\ displaystyle h (t) \}L1{\ displaystyle L ^ {1}}p=0 {\ displaystyle p = 0 \}
|H(0)|=|∫0∞h(t)dt|≤∫0∞|h(t)|dt{\ displaystyle | H (0) | = \ left | \ int _ {0} ^ {\ infty} h (t) dt \ right | \ leq \ int _ {0} ^ {\ infty} | h (t) | dt}care, prin presupunere, este o cantitate finită. Prin urmareσ<0 .{\ displaystyle \ sigma <0 \.}
Să presupunem . Deoarece, prin ipoteza raționalității, este de formă
σ<0 {\ displaystyle \ sigma <0 \}H(p) {\ displaystyle H (p) \}
H(p)=∑euvs.eup-peu,{\ displaystyle H (p) = \ sum _ {i} {\ frac {c_ {i}} {p-p_ {i}}},}presupunând, pentru simplitate, că polii lui sunt simpli. Transformarea Laplace inversă dă
H(p) {\ displaystyle H (p) \}
h(t)=∑euvs.euepeut{\ displaystyle h (t) = \ sum _ {i} c_ {i} e ^ {p_ {i} t}}care este în și sistemul este stabil EBSB.
L1{\ displaystyle L ^ {1}}
Semnal discret
Fie un sistem liniar invariant cu timp discret a cărui funcție de transfer ar trebui să fie rațională. Notând polii și modulul de convergență definit ca maximul modulilor polului, arătăm că sistemul este EBSB stabil dacă și numai dacă .
H(z) {\ displaystyle H (z) \}zeu {\ displaystyle z_ {i} \}ρ {\ displaystyle \ rho \} ρ<1 {\ displaystyle \ rho <1 \}
Dovadă
Deoarece este transformata Z a răspunsului la impuls ,
H(z) {\ displaystyle H (z) \} h(nu) {\ displaystyle h (n) \}
H(z)=∑k=0∞h(k)z-k{\ displaystyle H (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} h (k) z ^ {- k}}iar domeniul convergenței este exteriorul unui cerc, adică .
|z|>ρ {\ displaystyle | z |> \ rho \}
Dacă sistemul este EBSB stabil, atunci este în și există convergență în de atunci
h(nu) {\ displaystyle h (n) \}ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}z=1 {\ displaystyle z = 1 \}
|H(1)|=|∑k=0∞h(k)|≤∑k=0∞|h(k)|{\ displaystyle | H (1) | = \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} h (k) \ right | \ leq \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} | h (k) |}care, prin presupunere, este o cantitate finită. Prin urmareρ<1 .{\ displaystyle \ rho <1 \.}
Să presupunem . Deoarece, prin ipoteza raționalității, este de formă
ρ<1 {\ displaystyle \ rho <1 \}H(z) {\ displaystyle H (z) \}
H(z)=∑eudeu1-zeuz-1,{\ displaystyle H (z) = \ sum _ {i} {\ frac {d_ {i}} {1-z_ {i} z ^ {- 1}}},}presupunând, pentru simplitate, că polii lui sunt simpli. Inversul transformării în z dă
H(z) {\ displaystyle H (z) \}
h(nu)=∑eudeuzeunu{\ displaystyle h (n) = \ sum _ {i} d_ {i} z_ {i} ^ {n}}care este în și sistemul este stabil EBSB.
ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}
Criterii de stabilitate
Pentru a determina dacă un sistem fizic reprezentat de o diagramă bloc este stabil sau nu, se pot utiliza mai multe metode sau mai multe criterii. Există 2 tipuri de criterii:
Aceste criterii sunt utilizate numai pentru a determina dacă sistemul este stabil sau nu, dar nu indică gradul de stabilitate, adică dacă sistemul este mai mult sau mai puțin stabil. Pentru a aprecia acest faimos grad de stabilitate , este necesar să utilizați alte instrumente, cum ar fi marja de fază și câștigul de marjă sau factorul de calitate , de exemplu.
Note și referințe
-
În ceea ce privește reprezentarea stării, aceasta înseamnă că ne restrângem la sisteme dimensionale finite fără un termen direct. De exemplu, un sistem alcătuit dintr-un câștig pur (respectiv al unui diferențiator pur) are pentru răspuns impuls distribuția Dirac (respectiv derivata sa) care nu este o funcție.
Vezi și tu
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">