În matematică , regula semnului , descrisă pentru prima dată de René Descartes în cartea sa Geometrie , este o tehnică care oferă informații parțiale despre numărul rădăcinilor reale pozitive sau negative ale unui polinom .
Regula se aplică prin numărarea numărului de modificări ale semnelor în secvența formată din coeficienții polinomului. Dacă un coeficient este egal cu zero, acest termen este pur și simplu omis din următorul.
Regula afirmă că dacă termenii unui polinom al unei singure variabile cu coeficienți reali sunt ordonați în ordine descrescătoare a exponenților, atunci numărul rădăcinilor pozitive ale polinomului este numărul de modificări de semn între coeficienții consecutivi, alții decât zero, posibil scăzut cu un număr par. Mai multe rădăcini de aceeași valoare sunt numărate separat.
Ca corolar al regulii, numărul rădăcinilor negative este numărul de modificări ale semnelor după înmulțirea coeficienților termenilor de putere impar cu -1 sau scăzut cu un număr par. Această procedură este echivalentă cu înlocuirea variabilei cu opusul variabilei. De exemplu, pentru a găsi numărul rădăcinilor negative ale
,ne întrebăm cât de multe rădăcini echivalent pozitive sunt pentru în
.Regula semnului lui Descartes pentru dă numărul de rădăcini pozitive ale lui și, așa cum este dat numărul de rădăcini negative ale lui f .
Polinomul
are o schimbare de semn între al doilea și al treilea termen (succesiunea perechilor succesive de semne este + +, + -, - -). Prin urmare, are exact o rădăcină pozitivă. Rețineți că semnul principal trebuie luat în considerare, deși, în acest exemplu particular, nu afectează răspunsul. Pentru a găsi numărul rădăcinilor negative, schimbați semnele coeficienților termenilor cu exponenți impari, adică aplicați regula Descartes a semnelor pentru polinom pentru a obține un al doilea polinom
.Acest polinom are două modificări ale semnelor (succesiunea perechilor succesive de semne este - +, + +, + -), ceea ce înseamnă că acest al doilea polinom are două sau deloc rădăcini pozitive; astfel polinomul original are două sau deloc rădăcini negative.
De fapt, factorizarea primului polinom este
astfel, rădăcinile sunt -1 (de două ori) și 1.
Factorizarea celui de-al doilea polinom este
deci aici, rădăcinile sunt 1 (de două ori) și -1, opusele rădăcinilor polinomului original.
Orice polinom de grad n are exact n rădăcini în planul complex , numărate cu multiplicitatea lor. Deci, dacă f ( x ) este un polinom care nu are rădăcină zero (care poate fi determinată prin inspecție), atunci numărul minim de rădăcini complexe este egal cu
unde p denotă numărul maxim de rădăcini pozitive, q denotă numărul maxim de rădăcini negative (aceste două pot fi găsite folosind regula semnului lui Descartes), iar n denotă gradul ecuației.
Polinomul
are o schimbare de semn, deci numărul maxim de rădăcini reale pozitive este 1.
,putem spune că polinomul nu are rădăcină reală negativă. Deci, numărul minim de rădăcini complexe este
.Deoarece rădăcinile complexe ale unui polinom cu coeficienți reali sunt perechi conjugate, putem vedea că x 3 - 1 are exact 2 rădăcini complexe și 1 rădăcină reală (pozitivă).
Scăderea doar a unui multiplu de 2 din numărul maxim de rădăcini pozitive are loc deoarece polinomul poate avea rădăcini complexe, care vin întotdeauna în perechi, deoarece regula se aplică polinoamelor ai căror coeficienți sunt reali. Astfel, dacă știm că polinomul are toate rădăcinile sale reale, această regulă permite să găsim numărul exact de rădăcini pozitive și negative. Deoarece este ușor să se determine multiplicitatea rădăcinii posibile 0, semnul tuturor rădăcinilor poate fi determinat în acest caz.
Dacă polinomul real f are k rădăcini pozitive reale numărate cu multiplicitate atunci, pentru toate a > 0, există cel puțin k modificări de semn în secvența coeficienților seriei Taylor a funcției e ax f ( x ). Pentru un număr suficient de mare, există exact k modificări ale semnelor.
În anii 1970 Askold Georgevich Khovanskiǐ a dezvoltat teoria celor câteva nume care generalizează regula lui Descartes. Regula semnelor poate fi considerată ca indicând faptul că numărul rădăcinilor reale ale unui polinom depinde de complexitatea polinomului și că această complexitate este proporțională cu numărul de monomii disponibili și nu cu gradul său. Khovanskiǐ a arătat că acest lucru este valabil nu numai pentru polinoame, ci și pentru combinații algebrice ale multor funcții transcendentale, funcțiile Pfaffian (în) .
Acest articol încorporează materiale din regula semnelor Descartes de pe PlanetMath, care este licențiată sub licența Creative Commons Attribution / Share-Alike.