Rozetă (matematică)

În matematică , o rozetă sau rodonea este o curbă plană obținută prin trasarea unui sinusoid în coordonate polare .

General

Cu o similaritate , aceste curbe sunt definite printr-o ecuație polară de formă:

{\ displaystyle \! \, r = \ cos (k \ theta)}

sau în formă parametrică prin funcțiile:

{\ displaystyle \! \, x = \ cos (kt) \ sin (t)}

{\ displaystyle \! \, y = \ cos (kt) \ cos (t)}

k fiind un număr real:

dacă k este rațional , atunci curba este închisă și de lungime finită;
dacă k este irațional , atunci curba nu este închisă și lungimea ei este infinită.

Trandafirul va avea:

k petale dacă k este un număr întreg ciudat, deoarece curba este trasată în totalitate când θ variază de la 0 la π (când θ variază de la π la 2π, curba trece prin punctele deja trasate);
2 k petale dacă k este un număr întreg, deoarece linia este trasată exact o dată când θ variază de la 0 la 2π.
4 k petale dacă k este o fracție ireductibilă cu numitor 2 (exemple: 1/2, 5/2);
12 k petale dacă k este o fracție ireductibilă cu numitorul 6 și mai mare de 1 (exemple: 7/6, 17/6).

Dacă k este o fracțiune ireductibilă cu numitorul 3 și mai mare de 1, rozeta va avea:

Termenul rhodonea a fost ales de matematicianul italian Luigi Guido Grandi între 1723 și 1728.

O rozetă a cărei ecuație polară este de formă

{\ displaystyle r = a \ cos (k \ theta)}

unde k este un număr întreg pozitiv, are o suprafață egală cu

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (a \ cos (k \ theta)) ^ {2} \, {\ rm {d}} \ theta = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ pi + {\ frac {\ sin (4k \ pi)} {4k}} \ right) = {\ frac {\ pi a ^ { 2}} {2}}}

dacă k este egal și

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi} (a \ cos (k \ theta)) ^ {2} \, {\ rm {d}} \ theta = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + {\ frac {\ sin (2k \ pi)} {4k}} \ right) = { \ frac {\ pi a ^ {2}} {4}}}

dacă k este ciudat.

Același principiu se aplică rozetelor ecuației polare a formei:

{\ displaystyle r = a \ sin (k \ theta)}

deoarece graficele lor sunt doar imagini prin rotația rozetelor definite folosind cosinusul.

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „ Rose (matematică) ” ( vezi lista autorilor ) .