În geometrie afină un cadru afin un spațiu afin pentru a asocia so-to-one în orice punct al spațiului, un set de coordonate cu valori din corp pe care este definit spațiul vectorial asociat. O hartă afină este definită și complet determinată de imaginea unui sistem de coordonate afine.
Terminologia nu este tocmai fixă: sub denumirea de referință afină, găsim două noțiuni distincte, dar puternic legate. Pentru prima, un cadru afin de referință, numit și în acest caz cadru cartezian , constă dintr-un punct din spațiul afin considerat și o bază a spațiului vectorial asociat. Pentru al doilea, un sistem de coordonate afine, numit și în acest caz bază afină , este baza ordonată a punctelor din spațiul afin, astfel încât setul de puncte nu este conținut într-un alt spațiu afin decât întregul spațiu ( familia generatoare ) și că niciun punct nu aparține subspaiului afinar generat de punctele rămase ( familia de rafinare gratuită sau puncte de rafinare independente ). Un sistem de coordonate cartezian face foarte ușoară definirea unei baze afine și invers.
În cazul unui spațiu afin de dimensiune finită n , un cadru de referință afin în sensul cadrului de referință cartezian constă dintr-un punct și n vectori (într-o anumită ordine), un cadru de referință afin în sensul de bază afină constă din n + 1 puncte, din nou într-o ordine specifică.
De coordonate carteziene exprimate în mod natural într - un sistem de coordonate cartezian afină la sens și coordonatele barycentric sunt exprimate în mod natural într - un cadru de afin sub baza afin, a declarat , de asemenea , uneori barycentric marca .
Într-un spațiu afin în care spațiul vectorial își poartă structura pe corpul K , un cadru afin sau cadru cartezian este un cuplu
,
unde este un punct al (numit originea sistemului de coordonate ), și este orice bază a .
Orice punct al , este situat prin coordonatele sale carteziene în cadru : acestea sunt coordonatele vectorului din baza lui . Când este de dimensiune finită n se scrie baza și avem:
,
unde denotă coordonatele din sistemul de coordonate și denotă coordonatele vectorului din bază .
Această definiție este legitimă datorită faptului că alegerea unui punct privilegiat în face posibilă stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între spațiul punctelor și spațiul vector (a se vedea spațiul afin ). Originea fiind aleasă, coordonatele punctelor lui E sunt coordonatele vectorilor asociați de corespondența unu-la-unu.
Pentru orice pereche de puncte A și B din E, următoarea egalitate rezultă imediat din definiție:
În același spațiu dimensional afin , dacă și sunt două cadre de referință diferite, atunci coordonatele sunt obținute din coordonatele aceluiași punct, dar în cadru , folosind următoarele ecuații:
care matricially sunt scrise , în cazul în care este matricea de trecere în a trece de la bază la bază și
Relația dintre și este următoarea:
Ecuațiile schimbării de referință în cealaltă direcție (de către ) sunt scrise atunci:
Orice sistem de coordonate afine dintr-un spațiu afin face posibilă stabilirea unui izomorfism (afin) între și spațiul afin canonic Într-adevăr, harta definită de
pentru orice punct ,
adică harta care se asociază în orice punct al coordonatelor sale, văzută ca un element al , este o hartă afină bijectivă între și astfel încât reciprocul său este și afin ( este un izomorfism afin).
Orice spațiu afin pe un câmp și cu dimensiunea n este apoi izomorf (se comportă identic din punctul de vedere al unui spațiu afin) la spațiul afin canonic. Spațiile afine care urmează să fie studiate sunt, prin urmare, pur și simplu spațiile afine canonice (de asemenea, denotate ) servi drept modele .
O bază afină a spațiului E , pe care mulți autori o numesc și referință afină, este o familie de puncte ale acestui spațiu, rafinament liber și generator al întregului spațiu.
Într - un spațiu afin E , o familie (A i ) i ∈ I de puncte de E se spune că rafinament liber , dacă nici unul din punctele A j din familia apartine subspațiul generat de punctele rămase (A i ) i ∈ Eu , i ≠ j . Există, de fapt, mai multe moduri de a spune că o familie este rafinament liber, revenind la spațiul vector subiacent sau chiar folosind baricentrele . Astfel, o familie este fără rafinament dacă și numai dacă îndeplinește una dintre următoarele proprietăți (toate echivalente):
Spațiul generat de o familie (A i ) i ∈ I (sau un set) de puncte ale spațiului afin E este cel mai mic subspatiu afin care conține toate aceste puncte, adică intersecția tuturor sub spațiilor afine conținând fiecare toate (A i ). Este încă setul de baricentre ale lui (A i ). Când spațiul generat este întregul spațiu rafinat, spunem, de asemenea, că familia este generativă. O familie este deci un generator dacă și numai dacă pentru un j dat în I familia vectorilor:
este generator .
În cele din urmă, o bază afină a lui E este o familie liberă și generatoare (A i ) i ∈ I și vedem că acest lucru este echivalent cu:
este o bază a spațiului vectorial asociat, adică:
este un cadru de referință cartezian al spațiului afin E , un cadru de referință afin în sensul precedent, cele două noțiuni fiind deci strâns legate.
Orice punct al unui spațiu afinar este barcentric al punctelor unui cadru de referință barcentric, lista coeficienților barcentrici este unică, cu excepția unui factor multiplicativ (unic dacă presupunem că suma coeficienților trebuie să fie 1) acestea sunt coordonatele barentric .
În dimensiunea finită n , toate bazele afine au același cardinal n + 1, toate familiile de rafinament liber au un cardinal cel mult egal cu n + 1, toate familiile generatoare au un cardinal cel puțin egal cu n + 1. Aceste proprietăți sunt deduse din cele analoage pentru baze , familie liberă și familie generatoare de vectori prin echivalențele paragrafelor precedente.
În special, o bază afină este o familie liberă de n + 1 puncte, adică (A 0 , ..., A n ) care îndeplinește una dintre condițiile paragrafului #Rafinare gratuită pentru familie . Asa de :