Teorema lui Varignon

Există două teoreme demonstrate de Pierre Varignon .

Teorema matematică

Teorema - Dacă ABCD este orice patrulater și I, J, K, L punctele medii ale laturilor sale, atunci IJKL este un paralelogram .

Pe de altă parte, dacă ABCD este plan și convex, aria sa este dublă față de IJKL.

Ca corolar, medianele unui patrulater au același punct de mijloc (fiind diagonalele paralelogramului).

Perimetrul paralelogramului Varignon este egal cu suma lungimilor diagonalelor patrulaterului.

Demonstrație

Prin aplicarea teoremei punctului de mijloc , arătăm că laturile opuse ale IJKL sunt fiecare paralele cu o diagonală a ABCD, deci paralele între ele.

Conform teoremei lui Thales , baza b a IJKL este egală cu jumătate din diagonala d a ABCD, iar înălțimea h este egală cu jumătate din înălțimea h 'luată de la un vârf la altul al ABCD (perpendicular pe diagonală).

Deci . ${\ displaystyle Aire (ABCD) = {\ frac {1} {2}} \ times d \ times {h ^ {\ prime}} = {\ frac {1} {2}} \ times 2b \ times 2h = 2 \ times Aire (IJKL)}$

O dovadă algebrică a teoremei lui Varignon

Luând notațiile desenului de mai sus și adoptând notațiile barententrice , avem:

{\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} (A + B), \, J = {\ frac {1} {2}} (B + C), \, K = {\ frac {1 } {2}} (C + D), \, L = {\ frac {1} {2}} (A + D)}

prin urmare (prin asociativitatea baricentrului)

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (I + K) = {\ frac {1} {4}} (A + B + C + D) = {\ frac {1} {2}} ( J + L)}

care exprimă faptul că IJKL este un paralelogram.

Această demonstrație ilustrează „metafora drăguță” a lui Nicolas Bourbaki , raportată de Georges-Théodule Guilbaud în prefața sa către o carte a lui Hermann Weyl : „Sub această claritate nemiloasă (cea a algebrei), geometria clasică se estompează brusc și își pierde strălucirea. "

În plus, elimină orice ezitare în ceea ce privește patrulaterele încrucișate sau patrulaterele concave.

Teorema mecanică

O forță se descompune în două forțe și : $\ vec {F}$ ${\ vec {F}} _ {1}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}$

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {F}} _ {2}}

Teorema lui Varignon afirmă că

momentul forței în raport cu un punct este egal cu suma momentelor de forțe și în ceea ce privește același punct,

\ vec {F}

{\ vec {F}} _ {1}

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}

dacă luăm în considerare orice punct A :

{\ displaystyle M _ {{\ vec {F}} / A} = M _ {{\ vec {F_ {1}}} / A} + M _ {{\ vec {F_ {2}}} / A} }

(în valoare algebrică ),

{\ displaystyle {\ vec {M}} _ {{\ vec {F}} / A} = {\ vec {M}} _ {{\ vec {F_ {1}}} / A} + {\ vec { M}} _ {{\ vec {F_ {2}}} / A}}

(în vector)

Referințe

Jean Dieudonné , Algebră liniară și geometrie elementară , Paris, Hermann , col. "Educatie stiintifica",1964, ex. 2, p. 50.
Hermann Weyl ( trad. Din engleză), Simetrie și matematică modernă , Paris, Flammarion ,1996( 1 st ed. 1964), 151 p. ( ISBN 2-08-081366-8 , OCLC 36104865 ).

Vezi și tu

Articol asociat

Teorema lui Wittenbauer

linkuri externe

Demonstrarea Varignon Paralelogramul de Varigon creștin- Bissières
Animație Varignon teorema lui Vincent Lesbros.