Baricentru

În matematică , baricentrul unui set finit de puncte în plan sau în spațiu este un punct care face posibilă reducerea anumitor combinații liniare de vectori . Cele coordonate ale acestei barycenter într - un sistem de coordonate cartezian apoi corespund mediile aritmetice ale coordonatelor omoloage ale fiecăruia dintre punctele considerate, eventual atribuite cantarind coeficienți . Când acești coeficienți de ponderare sunt egali, baricentrul se numește izobarycenter și astfel generalizează noțiunea de centrul de greutate al unui triunghi .

Noțiunea de baricentru este utilizată în fizică în special pentru a determina punctul de echilibru al unui set finit de mase punctuale .

Mai general, baricentrul poate fi definit în cadrul unui spațiu afin de pe orice corp . Centrul de greutate este un instrument central în geometria afină care permite caracterizarea și studierea subspaiului Afin , afin și convexitate .

Versiunea continuă a noțiunii de baricentru este cea a centrului de masă , care traduce noțiunea corespunzătoare de centru de inerție pentru un solid în mecanica clasică .

Istorie și origine fizică

Termenul baricentru se formează pe rădăcina greacă barus (greu) pentru a desemna un centru de greutăți sau centru de echilibru. Proiectarea sa este legată de teorema timpurilor descoperite de Arhimede în secolul III  î.Hr. AD a scris în tratatul său Despre centrul de greutate al unei suprafețe plane  :

„Fiecare corp greu are un centru de greutate bine definit în care toată greutatea corpului poate fi considerată concentrată. "

Principiul său de momente și pârghii face posibilă determinarea destul de simplă a baricentrului O a două puncte de mase diferite m 1 și m 2 .

Pentru ca balanța să fie în echilibru, momentele m 1 ⋅ OA ⋅ g și m 2 ⋅ OB ⋅ g trebuie să fie egale în câmpul gravitațional g . Dacă, de exemplu, masa m 1 este de 4 ori mai mare decât masa m 2 , lungimea OA trebuie să fie de 4 ori mai mică decât lungimea OB . Această condiție are ca rezultat egalitatea vectorială

Acest principiu al momentelor este folosit și în așa-numita scară romană .

Greutățile aparente pot avea, de asemenea, o valoare numerică negativă, dacă una dintre mase este înlocuită cu un balon de heliu, de exemplu: forța lui Arhimede este adăugată la greutate și rezultanta este o forță care poate fi exercitată spre vârf. În acest caz, punctul de echilibru se află în afara spațiului delimitat de cele două obiecte.

Baricentrul a două puncte în plan

Definiția baricentrului printr-o relație vectorială

Definim baricentrul a două puncte A și B ale planului afectat de coeficienții de ponderare a și b (cu suma a + b nu zero) ca punct unic G care verifică relația vectorială

Într-adevăr, folosind relația lui Chasles , această relație poate fi rescrisă în formă

adică

sau echivalent

Deoarece suma a + b este diferită de zero, există deci un punct unic G care satisface această ecuație. Este dat de relația

Spunem apoi că G este baricentrul punctelor A și B atribuite coeficienților de ponderare a și b  ; notăm cu G = bar {( A , a ), ( B , b )}. Observăm, din egalitatea vectorială de mai sus, că G aparține liniei ( AB ).

Conversa este, de asemenea, adevărată: orice punct de pe linie ( AB ) poate fi considerat ca un baricentr al punctelor A și B

Dacă coeficienții de ponderare au același semn, baricentrul punctelor A și B va fi situat pe segmentul [AB]

În cazul particular în care a = b , vorbim mai degrabă de izobarycenter. Prin urmare, centrul izobarian al celor două puncte A și B corespunde punctului mijlociu al acestor două puncte.

Punctele A și B fiind date, construcția geometrică a baricentrului G a acestor două puncte se face grație teoremei lui Thales.

Unele programe de geometrie dinamică (LGD) definesc G = bar {( A , a ), ( B , b )} prin G = a * A + b * B

Colinearitatea

Definiție

tragem asta

sau asta

Cu alte cuvinte, acești doi vectori sunt coliniari. De asemenea , au un punct în comun, G . Prin urmare, G aparține liniei ( AB ). Asa de

dacă G este baricentrul lui {( A , a ), ( B , b )} atunci G aparține liniei ( AB ) .

Dacă G este pe segmentul [ AB ] (între A și B ) atunci

pentru un anumit k <0 deoarece acești doi vectori sunt de direcție opusă. Dar, ca și în același timp

deducem că b și a au același semn. Asa de

Dacă G este pe segmentul [ AB ] (între A și B ) atunci a și b au același semn .

Omogenitate

Dacă G este baricentrul lui {( A , a ), ( B , b )} atunci

și se întâmplă că pentru toate k-urile reale pe care le avem

Cu alte cuvinte, obținem

Mai mult, întrucât a + b nu este zero, pentru toate k nenule reale, k (a + b) nu este zero. Atunci G este baricentrul lui {( A , ka ), ( B , kb )}. Asa de

dacă G este baricentrul lui {( A , a ), ( B , b )} atunci pentru orice k real diferit de zero, G este, de asemenea, baricentrul lui {( A , ka ), ( B , kb )}.

Cu alte cuvinte, baricentrul a două puncte rămâne neschimbat dacă coeficienții de ponderare ai acestor puncte sunt înmulțiți cu același real.

Această proprietate a baricentrului se numește omogenitate .

Reducere

Aplicarea relației Chasles

prin introducerea baricentrului G al lui {( A , a ), ( B , b )} dă

G fiind baricentrul lui {( A , a ), ( B , b )} atunci:

Relația anterioară devine:

Asa de

dacă G este baricentrul lui {( A , a ), ( B , b )} atunci pentru orice punct M al planului, .

Aceasta este așa-numita proprietate de reducere sau reducere de sumă vectorială .

Acesta permite poziționarea punctului G în raport cu orice punct M . Dacă M este originea unui sistem de coordonate al planului sau al spațiului, acesta permite definirea coordonatelor (x G , y G ) ale punctului G din acest sistem de coordonate în funcție de coordonatele (x A , y A ) și (x B , y B ) ale punctelor A și B din acest cadru:

Baricentru de trei puncte în plan sau în spațiu

Definiția poate fi generalizată la trei puncte ale planului sau ale spațiului: pentru toate numerele reale a , b și c astfel încât a + b + c să nu fie zero, există un punct unic G astfel încât

numit baricent al sistemului ponderat {( A , a ), ( B , b ), ( C , c )}. Punctele G , A , B și C sunt întotdeauna coplanare și demonstrăm că în cazul în care A , B , C definesc un plan, fiecare punct M al acestui plan poate fi scris ca centroida A , B și C . Ponderile sunt numite apoi coordonatele barycentric ale M în sistemul de coordonate A , B și C .

În cazul particular în care a = b = c , se vorbește mai degrabă de izobarycenter decât de barycenter.

În ceea ce privește baricentrul a două puncte, baricentrul a trei puncte face posibilă reducerea expresiei vectoriale

pentru orice punct M  :

Acest lucru permite, prin înlocuirea lui M cu originea sistemului de coordonate, să se dea coordonatele (x G , y G , z G ) ale punctului G din acest sistem de coordonate în funcție de coordonatele (x A , y A , z A ) , (x B , y B , z B ) și (x C , y C , z C ) punctele A , B și C din acest cadru:

Baricentrul are, de asemenea, o proprietate cunoscută sub numele de asociativitate sau baricentric parțial: dacă a + b este diferit de zero și dacă H este baricentrul sistemului {( A , a ), ( B , b )}, atunci G este baricentrul lui sistemul {( H , a + b ), ( C , c )}. Aceasta înseamnă că construcția baricentrului în trei puncte poate fi redusă la construcția baricentrului în două puncte. Această proprietate simplifică foarte mult problemele de aliniere și concurență.

Având în vedere trei puncte distincte și nealiniate A , B și C , centrul de greutate al triunghiului ABC este prin definiție punctul de intersecție al celor trei mediane ale sale . Se află la 2/3 dintr-o mediană de sus . Cu alte cuvinte, lăsați un triunghi ABC , A ' punctul mediu al lui [ BC ], B' punctul mediu al lui [ AC ] și C ' punctul mediu al lui [ AB ] și G centrul său de greutate. Asa de

Astfel, centrul de greutate al triunghiului este exact centrul izobarian al vârfurilor triunghiului, adică

Notă: Există o enciclopedie a punctelor remarcabile ale unui triunghi ABC  : fiecare dintre aceste puncte remarcabile este definit ca baricentrul celor trei puncte A , B și C [1]

Aplicații

În geometrie

În geometria afin, barycenters (în special isobarycenters) facilitează în mare măsură problemele de aliniere și de concurenta (trei puncte sunt aliniate de îndată ce unul dintre punctele este barycenter de celelalte două) și permit demonstrații elegante ale teoreme , cum ar fi teorema lui Menelau , teorema lui CEVA sau proprietățile patrulaterului complet .

De exemplu, pentru teorema lui Ceva, ia în considerare figura opusă (figura 1), gradările de pe fiecare parte sunt regulate. Teorema lui Ceva afirmă că liniile ( AM ), ( BN ) și ( CP ) sunt concurente.

Demonstrație

Citirea cifrei ne permite să spunem că:

Proprietatea de omogenitate a baricentrului face posibilă afirmarea că:

Este suficient apoi să se creeze un baricentru punct G al sistemului {( A  ; 6), ( B  ; 3); ( C  ; 2)} și utilizați proprietatea de asociativitate de trei ori:

G este deci punctul de intersecție al celor trei linii.

Reducerea funcțiilor lui Leibniz

Datorită noțiunii de barycenter, este posibilă reducerea expresiilor vectoriale.

Să luăm exemplul a 3 puncte A , B și C ale greutății a , b și c (cu suma diferită de zero) și să considerăm baricentrul G al acestor trei puncte. Formula primului grad este cea a baricentrului:

ceea ce permite multe calcule de gradul I pe vectori.

Din baricentr este posibilă definirea unei formule pătratice, în sensul produsului scalar al vectorilor, care face posibilă calcularea cantității

Pentru a face acest lucru, înlocuiți fiecare vector cu și aplicați formula pentru pătratul unei sume:

Prin urmare, produsele duble se anulează reciproc

în gradul al doilea.

În fizică

Baricentrul este în primul rând un instrument folosit pentru a calcula punctele de echilibru ale punctelor materiale și, mai general, apoi ale centrelor de inerție (numite și centre de masă) în anumite cazuri. Însăși noțiunea de centru de inerție poate fi văzută ca o generalizare a baricentrului la un continuum de puncte materiale.

Într-adevăr, dacă luăm în considerare un domeniu D al volumului finit al spațiului a cărui densitate la punctul M este dată de g ( M ), atunci centrul de inerție G al lui D este definit ca punctul de spațiu care îndeplinește

care generalizează formula

.

definind baricentrul G al punctelor materiale A i de masă a i = g ( A i ).

Coordonatele centrului de inerție sunt date de

care generalizează pe cele ale coordonatelor baricentrului G ale punctelor materiale A i de masă a i date de

În anumite cazuri particulare, calculul centrului de inerție este redus la un calcul simplu al baricentrului. De exemplu, baricentrele pot fi utilizate pentru a calcula centrul de inerție al unei plăci omogene având o formă poligonală.

Baricentrul este folosit și în astronomie . Vorbim de baricentru în ceea ce privește cuplul format dintr-un corp stelar și unul dintre sateliții săi. Baricentrul este punctul în jurul căruia gravitează obiectul secundar.

Generalizarea la noțiunea de baricentru a n puncte ale unui spațiu afin

Definițiile și rezultatele prezentate mai sus pentru două sau trei puncte în plan sau spațiul comun generalizează la n puncte ale unui spațiu afin E pe un corp (comutativ) K oricare.

Definiție

Sunt ( A 1 , ..., A n ) puncte ale lui E și sunt ( a 1 , ..., a n ) ale scalarilor (adică elemente K ) de sumă diferită de zero .

Baricentrul punctelor ( A 1 , ..., A n ) afectate de coeficienți ( a 1 , ..., a n ) este punctul unic G al lui E astfel încât

.

Existența și unicitatea acestui punct sunt ușor dovedite folosind relația lui Chasles .

Putem indica bara ( A i , a i ) i = 1, ..., n sau , baricentrul punctelor ( A 1 , ..., A n ) afectate de coeficienți ( a 1 , ..., a n ) .

În cazul particular în care a 1 = a 2 = ... = a n , vorbim de izobarycenter.

Proprietăți imediate

Comutativitate  : ordinea punctelor poate fi modificată fără a schimba valoarea baricentrului atâta timp cât punctele își păstrează coeficientul.

Omogenitate  : putem înmulți toți coeficienții cu același k scalar diferit de zero fără a modifica valoarea baricentrului. Favorizăm adesea coeficienții a căror sumă este egală cu 1.

Asociativitate  : dacă

,

Putem defini

și avem următoarea egalitate:

.

Această proprietate se generalizează într-un grup de p subfamilii de coeficienți.

Coordonatele baricentrice

Dacă spațiul afin E este asociat cu un spațiu vectorial V de dimensiune n și dacă ( A 0 , ..., A n ) sunt n + 1 puncte ale lui E , spunem că aceste n +1 puncte formează un cadru de referință barentric. dacă vectorii

formează o bază de V . Dovedim, datorită relației lui Chasles, că această proprietate este independentă de ordinea punctelor.

Dacă ( A 0 , ..., A n ) formează un cadru de referință barcentric al lui E, atunci orice punct M al lui E poate fi găsit ca baricentru al lui ( A 0 , ..., A n ) cu, prin omogenitate ( vezi mai sus ), coeficienți ( un 0 , ..., a n ) suma 1. Ele se numesc coordonatele barycentric ale M .

Varietate afină

Numim o varietate afină a unui spațiu afin E orice parte a lui E stabilă de baricentre. Am demonstrat că această definiție coincide cu cea a subspaiului afin .

Subspatiul afin generat de o familie de n puncte ( A 1 , ..., A n ) este cel mai mic set care contine aceste puncte si stabil de baricentre.

De exemplu, subspaiul afin generat de două puncte care nu se îmbină este o linie afină, iar subspaiul afin generat de trei puncte neliniate este un plan afin.

Segmente, set convex

Să E un spațiu afin R . Dacă A și B sunt două puncte distincte ale lui E , ansamblul de puncte

unde k este un element al lui [0, 1], face parte din linia ( AB ) numită segmentul [ AB ]. Este, de asemenea, setul de puncte

unde a și b sunt două reale pozitive (în sens larg).

Un set stabil de baricentre cu coeficienți pozitivi este un set convex .

Setul de combinații convexe de puncte ( A 1 , ..., A n ), adică de baricentrele lor cu coeficienți pozitivi, este învelișul convex al punctelor ( A 1 , ..., A n ).

Cerere afină

Fie E 1 și E 2 două spații afine și f este o mapare de la E 1 la E 2 . Spunem că f păstrează baricentrul dacă pentru orice baricentru

din E 1 , avem

adică imaginea lui G de f este baricentrul aparținând E 2 a punctelor f ( A i ) afectate de punctele a i .

Proprietatea de asociativitate a baricentrului face posibil să se limiteze la verificarea conservării oricărui baricentr din două puncte.

Am demonstrat că setul de hărți de la E 1 la E 2 păstrând baricentrul coincide cu cel al hărților afine de la E 1 la E 2 .

Anumite aplicații afine sunt exprimate bine folosind baricentrul. Iată două exemple.

este o traducere , care are pentru vector . este omotezia centrului C și raportul k .

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">