În matematică , a n- a rădăcină a unui număr a este un număr b astfel încât b n = a , unde n este un număr natural diferit de zero.
În funcție de faptul dacă lucrăm în setul de reali pozitivi, setul de reali sau setul de complexe , numărul de rădăcini n- ale unui număr poate fi 0, 1, 2 sau n .
Pentru un număr real pozitiv a , există un număr real pozitiv unic b astfel încât b n = a . Acest adevărat se numește n th rădăcină a unei (sau a n- lea principal rădăcină al unei ) și este notat cu n √ o cu radical simbolul ( √ ) sau un 1 / n . Cea mai faimoasă rădăcină este rădăcina pătrată a unui real. Această definiție se generalizează pentru un negativ și un negativ b cu condiția ca n să fie impar .
Termenul rădăcină al unui număr nu trebuie confundat cu cel al rădăcinii unui polinom care desemnează valoarea (valorile) în care polinomul dispare.
Pentru orice r real strict pozitiv, ecuația x 2 = r admite două soluții reale opuse, iar când r = 0, ecuația x 2 = 0 admite ca singură soluție 0.
Rădăcina pătrată a unui pozitiv real r este prin definiție unică soluția reală pozitivă a ecuației x 2 = r de necunoscut x .
Se notează √ r .
ExempleRădăcină cubică oricărei reale r este rădăcina unică reală a ecuației
necunoscut x .Se remarcă .
Exemplu:
Pentru orice număr natural diferit de zero , harta este o bijecție de la și, prin urmare, pentru orice număr real pozitiv, ecuația admite o soluție unică în .
Rădăcină nth (sau nth rădăcină ) a unei pozitive reale r ( r ≥ 0, n> 0 ) este unica soluția pozitivă reală a ecuației
necunoscut x .Se remarcă .
Rețineți că a n-a rădăcină a este, de asemenea, rădăcina pozitivă unică a polinomului .
Când n este egal, ecuația
necunoscut xare două soluții care sunt și .
Când n este impar, ecuația
necunoscut xare o singură soluție .
Tratamentul rădăcinilor numerelor negative nu este uniform. De exemplu, nu există o rădăcină pătrată reală de -1, ca pentru toate realele , dar rădăcina cubică a -27 există și este egală cu -3.
Pentru orice număr natural impar , harta este o bijecție de peste, astfel încât orice număr real are exact o rădăcină .
Pentru orice număr natural impar , rădăcina a n-a (sau rădăcina a-a ) a oricărui număr real este soluția reală unică a ecuației
necunoscut .
Rezultă că rădăcinile ordinelor impare ale numerelor reale negative sunt negative.
Rețineți că pentru numerele naturale impare și pentru orice număr real , avem
.Nevoia de a lucra cu rădăcinile numerelor negative a condus la introducerea numerelor complexe , dar există și restricții privind rădăcinile în zona numerelor complexe. Vezi mai jos.
Regulile pentru calcularea rădăcinilor rezultă din proprietățile puterilor .
Pentru numere strict pozitive și , avem următoarele reguli de calcul:
În cazul numerelor negative, aceste reguli de calcul pot fi aplicate numai dacă și sunt numere impare. În cazul numerelor complexe, acestea trebuie evitate.
În setul de reali reali pozitivi, se notează numărul care, ridicat la puterea n , dă a . Ideea este de a nota acest număr ca o putere a unei , chiar dacă aceasta înseamnă a lua un exponent fără număr întreg. Prin urmare, era vorba de găsirea unui exponent p astfel încât . Folosind operații cunoscute pe exponenți întregi pe care i-ar generaliza la exponenți non-întregi, s-ar obține , fie pn = 1 și .
Astfel , putem denumi rădăcina pătrată a unui , sau , rădăcina cubică a , sau și n - a radacina a unui , sau .
Această extensie a valorilor posibile pentru exponent se datorează lucrării lui Newton și Leibniz . Putem continua munca observând că
și verificați dacă această notație este compatibilă cu proprietățile deja cunoscute pe exponenții întregi .
În Newton vedem că apare pentru prima dată un exponent fracționar. Dar Newton și Leibniz nu se vor opri aici și își vor pune chiar întrebarea de a lucra la exponenți iraționali fără a le putea da un sens. Abia un secol mai târziu aceste notații au luat un sens precis odată cu implementarea funcției exponențiale și a traducerii:
căci toate realele au strict pozitive.Pentru orice număr natural diferit de zero , harta este o bijecție de la ℝ + la ℝ + a cărei hartă reciprocă este funcția n -a rădăcină . Prin urmare, este posibil să se construiască reprezentarea sa grafică, utilizând cea a funcției de putere prin simetria axei a liniei de ecuație .
Observăm că această funcție este continuă pe parcursul intervalului și existența la originea unei tangente coincidente cu axa y , deci a unei nediferențiate la 0, precum și a unei ramuri parabolice a axei ( Ox ).
Formulele derivatei reciproce permit stabilirea faptului că n -a funcția rădăcină este diferențiată pe parcursul intervalului și că derivata sa este , fie din nou, cu exponentul fracțional , arătând astfel că formula derivatei unei puteri întregi funcția se generalizează la cea a unei puteri inverse.
Radicalul sau rădăcina pot fi reprezentate de seria Taylor la punctul 1, care se obține din formula binomială generalizată : pentru orice număr real h astfel încât | h | ≤ 1,
Într-adevăr, această egalitate, a priori numai pentru | h | <1, de fapt asigură convergența normală pe [–1, 1] din moment ce
Putem observa ( cf. „ Teorema lui Eisenstein ”) că toate n 2 k –1 a k sunt numere întregi (în cazul n = 2 , acestea sunt numerele catalane C k –1 ).
Pentru orice număr natural n -nul , o n -a rădăcină a unui număr complex z este un număr care, ridicat la puterea lui n dă z , adică o soluție a ecuației
necunoscut x .
Când z este diferit de 0, există n distincte n- lea rădăcini ale z . Într-adevăr, rădăcinile n -ale unui complex z non-zero sunt și rădăcinile polinomului X n - z , care admite într-adevăr n soluții în mulțimea numerelor complexe conform teoremei d'Alembert-Gauss .
Toate rădăcinile oricărui număr, real sau complex, pot fi găsite cu un algoritm simplu . Numărul trebuie mai întâi scris în formă (a se vedea formula lui Euler ). Apoi, toate n - rădăcinile sunt date de:
pentru , unde este n principal lea rădăcină al unui .
Toate soluțiile complexe ale , adică rădăcinile n -a a , unde a este un număr real pozitiv, sunt date de ecuația simplificată:
pentru , unde este n principal lea rădăcină al unui .
Când o astfel de rădăcină se numește rădăcină - unitatea și toate rădăcinile n-a unității, notate , sunt formate din n rădăcini ale polinomului complex
Este un subgrup ciclic al grupului multiplicativ al complexelor de modul 1. Se formează din elemente
Numim a n-a rădăcină primitivă a unității orice generator al grupului ciclic . Aceste rădăcini primitive sunt elementele în care k este prim cu n . Numărul lor este egal cu unde indică indicatorul Euler .
Ludovico Ferrari a demonstrat că rădăcinile polinoamelor de gradul al patrulea ar putea fi, la fel ca pentru cele de gradul al doilea și al treilea, calculate de radicali, adică printr-un număr finit de operații elementare pe coeficienții polinomului, inclusiv calcule rădăcini n -th . Acest lucru nu mai este valabil în general pentru ecuațiile chintice sau de un grad superior, așa cum se afirmă în teorema Abel-Ruffini . De exemplu, soluțiile ecuației nu pot fi exprimate în termeni de radicali.
Pentru a rezolva orice ecuație de gradul n -al "numeric" , consultați algoritmul de căutare rădăcină .
În tipografie , o rădăcină este alcătuită din trei părți: radicalul, indexul și radicandul.