Coeficientul isoperimetric este o cantitate adimensională utilizată pentru a evalua rotunjimea sau sfericitatea unei suprafețe sau a unui solid. Depinde de forma obiectului studiat și nu de mărimea acestuia. Definită inițial în plan pentru a compara două suprafețe cu același perimetru, este legată de toate problemele de isoperimetrie .
Noțiunea este apoi generalizată la spațiile superioare păstrând în același timp același nume.
În surse, găsim mai multe expresii non-echivalente ale coeficientului isoperimetric.
Considerăm o suprafață S măsurabilă având o margine rectificabilă , adică are o zonă finită și perimetrul său este de lungime finită.
Cocientul isoperimetric al lui S poate fi definit ca raportul dintre aria suprafeței și aria suprafeței maxime obținute pentru același perimetru. Atunci este întotdeauna un număr între 0 și 1, care ajunge la 1 când suprafața este un disc.
Dacă A este aria lui S și p perimetrul său, coeficientul isoperimetric q 1 este egal cu:
Exemplu: coeficientul izoperimetric al unui poligon regulat cu n laturi este:
Coeficientul isoperimetric poate fi pe de altă parte definit ca raportul dintre pătratul perimetrului și zona, Cu această nouă semnificație, coeficientul isoperimetric atinge minim 4π pentru disc și poate lua valori infinit de mari atunci când aria lui S tinde spre 0 și perimetrul său rămâne constant.
Pentru un K solid de volum V și suprafață S , găsim cele două definiții
Coeficientul q 1 variază de la 0 la 1 și atinge maximul pentru minge. Coeficientul q 2 variază de la 36π la infinit și atinge minimul pentru minge.
Coeficientul izoperimetric al unui solid nu trebuie confundat cu raportul său zonă-volum .
Pentru un K compact într-un spațiu euclidian de dimensiune n prevăzut cu măsura Lebesgue , coeficientul isoperimetric este adesea definit de egalitate: unde este granița lui K.
Acest coeficient atinge minimul pentru minge.
Uneori găsim o a treia definiție a coeficientului isoperimetric: