Pseudo-soluție

În matematică , mai precis în algebra liniară , o pseudo-soluție a unui sistem ( S ) de ecuații liniare este un sistem numita soluție de ecuații normale : , obținută prin înmulțirea primului sistem de matrice transpuse . Necunoscut este vectorul , datele este matricea și vectorul . $Ax = b$ ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! AAx = {} ^ {\ operatorname {t}} \! Ab}$ ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! A}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle A \ în M_ {n, p} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

În timp ce sistemul ( S ) poate să nu aibă o soluție, în general, deoarece este supradeterminat, adică cu ecuații mai independente decât necunoscute ( n > p ), sistemul de ecuații normale asociate admite întotdeauna cel puțin o soluție; aceasta corespunde cel mai adesea aplicării metodei celor mai puțin pătrate .

Sisteme de ecuații nedeterminate și pseudo-soluții

În practică, sistemele nedeterminate intervin în mod natural în procesele experimentale.

Pentru a lua un exemplu, dacă se dorește determinarea constantelor și a unei reacții enzimatice conform modelului Michaelis-Menten , se vor efectua n măsurători ale vitezei reacției v în funcție de concentrația c , știind că acestea sunt legate de ecuația unde . ${\ displaystyle V_ {M}}$ $K_ {M}$ $y = ax + b$ ${\ displaystyle x = 1 / c, \, y = 1 / v, \, a = K_ {M} / V_ {M}, \ b = 1 / V_ {M}}$

Măsurătorile vor genera un sistem de n ecuații cu 2 necunoscute a și b , dar sistemul obținut nu va avea în general nicio soluție din cauza impreciziei măsurătorilor care îl va face incompatibil . $(x_i, y_i)$

Cu toate acestea, știm că acest sistem ar trebui să aibă o soluție și nimic nu autorizează favorizarea anumitor ecuații față de altele pentru a o rezolva.

Ideea este apoi de a determina a și b pentru a minimiza diferența cu soluția așteptată, adică pentru a face expresia

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} -ax_ {i} -b) ^ {2}}

minim. (Ar fi zero dacă nu ar exista inexactități de măsurare).

Este chiar principiul unei rezoluții în sensul celor mai mici pătrate, așa cum apare în mod explicit, și care apelează la noțiunea de proiecție ortogonală .

Caracterizarea unei pseudo-soluții

Pentru ca ecuația liniară Ax = b să aibă soluții, este necesar ca vectorul b să aparțină imaginii lui A (pe care o identificăm aici cu harta liniară a în care o reprezintă). Dacă nu este cazul, căutăm să minimalizăm distanța dintre b și Ax găsind proiecția ortogonală a lui b pe , vectorul Ax fiind neschimbat în această proiecție. $\ mathbb {R} ^ {p}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (A)}$

Un vector x de o pseudo-soluție de ( S ) dacă și numai dacă, vectorul Ax este proiecția ortogonală a vectorului b pe imaginea A . $\ mathbb {R} ^ {p}$

Prin caracterizarea proiectului ortogonal, se poate afirma că:

Un vector x al este o pseudo-soluție a lui ( S ) dacă și numai dacă vectorul Ax minimizează distanța față de vectorul b : $\ mathbb {R} ^ {p}$

{\ displaystyle \ | b-Ax \ | _ {2} = \ min \ {\ | b-Ay \ | _ {2} \ mid y \ in \ mathbb {R} ^ {p} \}}

și găsim o noțiune de minuscule pătrate, dată fiind definiția standardului.

Existența pseudo-soluțiilor

Deoarece proiecția ortogonală a lui b on este un element al imaginii, ea admite antecedente de către A , astfel încât sistemul admite întotdeauna pseudo-soluții. ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A)}$
Când sistemul admite cel puțin o soluție, este propriul său proiect ortogonal, iar pseudo-soluțiile lui ( S ) sunt exact soluțiile lui ( S ). ${\ displaystyle b \ in \ mathrm {Im} (A)}$
Există o pseudo-soluție unică atunci când matricea este inversabilă , adică atunci când rangul său este egal cu p . Rețineți că acest loc este , de asemenea , că a A . ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! AA}$

Determinarea practică a pseudo-soluțiilor

Matricea este simetrică pozitivă , și chiar pozitivă definită atunci când este inversabilă; aur ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! AA}$

„Cele mai ușoare probleme de rezolvare a sistemelor liniare de tratat numeric sunt cele ale căror matrice sunt simetrice definite pozitive. "

Cu toate acestea, în practică, sistemul ( S ) este adesea slab condiționat , iar sistemul cu ecuații normale este cu atât mai mult cu cât condiționarea acestuia (pentru norma euclidiană) este pătratul condiționării sistemului inițial. În consecință, pseudo-soluțiile sunt determinate folosind, de exemplu, o descompunere QR .

În cazul unui sistem nedeterminat și a unei matrice de rang maxim, se poate utiliza factorizarea QR, dar dacă matricea nu este inversabilă, se folosește o descompunere în valori singulare

Referințe

Bibliografie

A. Quarteroni, R. Sacco și F. Saleri, Metode numerice pentru calcul științific, programe Matlab , Springer,2000( citește online )
Jean-Pierre Nougier, Metode de calcul numerice , vol. 1: Sisteme de ecuații , Paris, Hermès,2001

Note

Acest exemplu este tratat mai detaliat în F. Deluzet, A. Huard, A. Liné, J. Morchain, P. Poncet, G. Quinio și P. Villedieu, „ Sujets de TP, INSA ” , 2005/2006 , p . 7.
O demonstrație este disponibilă pe Wikiversitate ( vezi mai jos ).
Philippe G. Ciarlet, Introducere în analiza și optimizarea numerică a matricii , Dunod, Paris, 1998, p. 26.
Nougier 2001 , p. 164.
Quarteroni, Sacco și Saleri 2000 , p. 107.

Vezi și tu