Procesul Gauss

Această noțiune se găsește în diverse domenii, de la vibrații mecanice la valurile mării. La fel cum teorema limitei centrale face posibilă considerarea unei sume de variabile aleatoare independente ca o variabilă Gauss , ea conduce, de asemenea, la considerarea unei sume de procese aleatoare independente ca o Proces gaussian .

În ambele cazuri, o transformare liniară păstrează acest caracter gaussian, deoarece un filtru liniar care reține frecvența unui semnal sinusoidal reține, de asemenea, frecvențele unui proces gaussian. Acest lucru face posibilă utilizarea metodelor analoage în ambele cazuri (vezi de exemplu Linearizarea echivalentă ).

Proprietate fundamentală

Un semnal de varianță finită este asociat cu o funcție de autocovarianță (vezi Analiza spectrală ). În problemele practice, avem acces doar la o înregistrare cu durată limitată, ceea ce constituie o pierdere de informații. Transformarea Fourier face posibilă obținerea densității spectrale, adică conținutul de frecvență al semnalului. Considerând semnalul ca o realizare a unui proces staționar ergodic , această ultimă caracteristică presupunând că media sa a fost scăzută, autocovarianța statistică a acestui proces este egală cu autocovarianța temporală. Face posibilă determinarea matricilor de autocovarianță pentru diferite decalaje de timp. Dacă procesul este gaussian, aceste matrice sunt suficiente pentru a-l descrie cu orice preț. Deci, autocovarianța descrie pe deplin procesul.

Reprezentarea Rice

Reprezentarea unui proces gaussian centrat în formă

X(t)=LA(t)cos⁡(ωt+Φ(t)){\ displaystyle X (t) = A (t) \ cos (\ omega t + \ Phi (t)) \,}

ω{\ displaystyle \ omega \,} : constant

LA(t){\ displaystyle A (t) \,} : proces aleatoriu cu valori pozitive sau zero

Φ{\ displaystyle \ Phi \,} : proces aleatoriu pe un interval ]0,2π]{\ displaystyle] 0.2 \ pi] \,}

permite obținerea de rezultate interesante. Pentru aceasta trebuie să luăm în considerare și procesul

Da(t)=LA(t)păcat⁡(ωt+Φ(t)){\ displaystyle Y (t) = A (t) \ sin (\ omega t + \ Phi (t)) \,}

Cele două procese gaussiene au aceeași varianță și sunt deci corelate independent. Prin urmare, densitatea lor de probabilitate comună este redusă la σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2} \,}

pXDa(X,y)=12πσ2e-X2+y22σ2{\ displaystyle p_ {XY} (x, y) = {\ frac {1} {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2} } {2 \ sigma ^ {2}}}}}

Schimbarea variabilelor definite de cele două formule la început duce la o densitate de probabilitate comună care arată că cele două noi procese sunt independente:

pLA(la)=laσ2e-la22σ2{\ displaystyle p_ {A} (a) = {a \ over \ sigma ^ {2}} e ^ {- {a ^ {2} \ over {2 \ sigma ^ {2}}}} \,} : Procesul Rayleigh

pΦ(ϕ)=12π{\ displaystyle p _ {\ Phi} (\ phi) = {1 \ peste {2 \ pi}} \,} : proces uniform

Interpretare

Prin urmare, procesul Gauss este descris printr-un proces vag sinusoidal modulat de un proces de anvelopă . cos⁡(ωt+Φ(t)){\ displaystyle \ cos (\ omega t + \ Phi (t)) \,}LA(t){\ displaystyle A (t) \,}

Un proces cu bandă îngustă, suma sinusoidelor cu frecvențe similare, apare ca un sinusoid modulat. Densitatea de probabilitate a anvelopei reprezintă apoi aproximativ densitatea de probabilitate a vârfurilor. Aceeași lege se aplică și amplitudinilor de vârf cu un pătrat mediu rădăcină dublat.

În cazul unui proces în bandă largă, acest rezultat nu mai este valabil deoarece frecvențele înalte suprapuse pe jgheaburile de frecvență joasă determină apariția vârfurilor negative. Un raționament mult mai complicat duce la așa-numita lege Huston-Skopinski, uneori numită și legea lui Rice:

f(X)=e-X22{\ displaystyle f (x) = e ^ {- x ^ {2} \ over 2}} pLA(la)=12π(εf(la/ε)+1-ε2laf(la)∫-∞la1-ε2/εf(α)dα){\ displaystyle p_ {A} (a) = {1 \ over {\ sqrt {2 \ pi}}} (\ varepsilon f (a / \ varepsilon) + {\ sqrt {1- \ varepsilon ^ {2}}} af (a) \ int _ {- \ infty} ^ {a {\ sqrt {1- \ varepsilon ^ {2}}} / \ varepsilon} f (\ alpha) d \ alpha)}

ε{\ displaystyle \ varepsilon} : parametru între 0 și 1 asociat cu lățimea spectrului.

Ambele limite nu pot fi atinse. Valoarea 0 ar corespunde unui spectru care conține o singură frecvență, care nu poate duce la un fenomen gaussian. Valoarea 1 corespunde în special zgomotului alb perfect decorelat, prevăzut cu aceeași densitate spectrală la toate frecvențele și deci de varianță infinită. În cazul Gaussian, această decorelare asigură independența variabilelor aleatorii succesive, vârfurile având atunci aceeași distribuție ca valorile.

Perioade medii

În aceleași condiții, este posibil să se calculeze așteptarea anumitor perioade identice cu media lor de timp, în special media distanțelor dintre două treceri zero succesive cu o pantă de același semn și între două vârfuri succesive. Prima dintre aceste perioade este utilizată împreună cu legea lui Rayleigh pentru a calcula deteriorarea oboselii , dacă distribuția stresului este în mod rezonabil gaussiană / rayleighiană.

Referințe

• (en) (en) YK Lin , Teoria probabilistică a dinamicii structurale , New York, Robert E. Krieger Publishing Company,Iulie 1976, 368  p. ( ISBN  0882753770 )

Vezi și tu

Proces gaussian