Polinomul lui Laurent

Un polinom Laurent este o generalizare a noțiunii de polinom în care permitem ca puterile indeterminatului să fie negative. Introdus de matematicianul Pierre Alphonse Laurent în 1843 pentru studiul funcțiilor, în scopul de a generaliza seria Taylor prin intermediul seriei Laurent , ei au de când a apărut în mai multe ramuri ale matematicii și fizicii teoretice , în special în algebra. , În studiul algebrelor Lie și în raport cu teoria Fourier .

Definiție

Fie R un inel comutativ, un polinom Laurent este o expresie a formei:

{\ displaystyle p (t) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} a_ {k} t ^ {k}, \ quad a_ {k} \ in R}

unde doar un număr finit al coeficienților este diferit de 0. $a_ {k}$

Inelul de polinoame al lui Laurent

Setul de polinoame Laurent cu coeficienți într-un inel comutativ R este notat sau . Acest set este prevăzut cu o structură inelară cu aceleași operații ca inelul polinoamelor de pe R , indicele de însumare putând lua valori negative. În special, inelul de polinoame Laurent este obținut prin localizarea inelului de polinoame. ${\ displaystyle R [t, t ^ {- 1}]}$ ${\ displaystyle R [t ^ {\ pm 1}]}$

Prin urmare, avem următoarele operațiuni:

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i} a_ {i} X ^ {i} \ right) + \ left (\ sum _ {i} b_ {i} X ^ {i} \ right) = \ sum _ {i} (a_ {i} + b_ {i}) X ^ {i}}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i} a_ {i} X ^ {i} \ right) \ cdot \ left (\ sum _ {j} b_ {j} X ^ {j} \ right) = \ sum _ {k} \ left (\ sum _ {i, j: i + j = k} a_ {i} b_ {j} \ right) X ^ {k}.}

Și structura naturală a modulului R permite definirea multiplicării cu un scalar:

{\ displaystyle a \ cdot \ sum _ {i \ in \ mathbb {Z}} a_ {i} X ^ {i} \, = \, \ sum _ {i \ in \ mathbb {Z}} (aa_ {i }) \, X ^ {i}}

Unele proprietăți

${\ displaystyle R [t]}$ este un subring al . este un subinel al inelului fracțiilor raționale . Este, de asemenea, un subinel al corpului seriei Laurent . ${\ displaystyle R [t ^ {\ pm 1}]}$ ${\ displaystyle R [t ^ {\ pm 1}]}$ $R (t)$

Inelul este un inel noetherian, dar nu unul artinian . Este deosebit de izomorf pentru inelul grupului și, prin urmare, moștenește o structură comutativă și cocommutativă din algebra Hopf . Dacă R este un câmp , atunci este o R -algebră . ${\ displaystyle R [t ^ {\ pm 1}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} R}$ ${\ displaystyle R [t ^ {\ pm 1}]}$

Derivații pe inelul polinoamelor Laurent

Fie R un câmp , o derivare pe este: ${\ displaystyle R [X, X ^ {- 1}]}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial X}}: \ sum _ {k \ in Z} a_ {k} X ^ {k} \ mapsto \ sum _ {k \ in Z} ka_ {k} X ^ {k-1}}

Dacă este un polinom Laurent, atunci este încă o derivare și putem arăta că este cea mai generală, în sensul că orice derivare poate fi scrisă astfel. Prin urmare, avem o bază $p (X)$ ${\ displaystyle T_ {p (X)} = p (X) {\ frac {\ partial} {\ partial X}}}$

{\ displaystyle d_ {n} = T _ {- X ^ {n + 1}} = - X ^ {n + 1} {\ frac {\ partial} {\ partial X}} \, \ quad n \ in \ mathbb {Z}}

Putem apoi seta un comutator care înzestrează această algebră a polinoamelor Laurent cu o structură de algebră Lie :

{\ displaystyle [d_ {i}, d_ {j}] = (ij) d_ {i + j}}

pentru toți numerele întregi i , j , care nu este altul decât algebra lui Witt (ro) .

Dantele algebre

Dacă G este un finit dimensional complex algebra Lie , vom construi asociate șireturi algebra (en) prin tensorizing - l de polinoame Laurent peste domeniul complexelor:

{\ displaystyle {\ tilde {G}} = R [t ^ {\ pm 1}] \ otimes _ {\ mathbb {C}} G}

În special, este de dimensiune infinită. ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$

Generalizări

Polinoamele lui Laurent sunt generalizate cu ușurință la mai multe nedeterminate, fiind notat inelul corespunzător . ${\ displaystyle R [t_ {i} ^ {\ pm 1}]}$
Din punct de vedere al analizei complexe , polinoamele Laurent au doi poli localizați la 0 și în . Putem lucra cu setul de funcții meromorfe pe planul complex proiectiv (în) lipsit de o pereche de puncte (respectiv de un număr finit de puncte), care se rezumă la studiul polinoamelor Laurent prin intermediul unei „traduceri (sau o succesiune de traduceri dacă este un polinom cu mai multe variabile). $\ infty$

Articole similare

Seria Laurent

Referințe

Joseph Bertrand , „ Observație asupra lucrării comandantului Laurent ”, laudă academică ,1890, p. 389-393