Paradox frizerului este o ilustrare didactică a paradoxului lui Russell , atribuit lui Bertrand Russell însuși. Prin urmare, nu trebuie să acordăm o importanță excesivă acestui „ paradox ”, pe care logicianul E. W. Beth îl califică drept „ presupusă antinomie ” sau „pseudoantinomie”.
Putem afirma paradoxul după cum urmează:
Consiliul municipal al unui sat adoptă un decret municipal care ordonă frizerului său (bărbat) să radă toți locuitorii bărbați ai satului care nu se bărbieresc singuri și numai aceștia.
Frizerul, care este într-adevăr un locuitor al satului, nu a putut respecta această regulă deoarece:
Prin urmare, această regulă este inaplicabilă. Este acesta un paradox pentru toate acestea? Nu există niciun motiv să credem că un consiliu sat sau orice alt organism nu poate fi sursa unei legi absurde. De fapt, departe de a fi o antinomie logică, acest „paradox” arată pur și simplu că un frizer care respectă această regulă nu poate exista. Aceasta este o ilustrare a faptului că, dacă R este o relație binară (în acest caz „... se rade ...”), următoarea afirmație, scrisă în limbaj formal:
¬ ∃ y ∀ x ( y R x ⇔ ¬ x R x )este o formulă universal valabilă pentru calcularea predicatelor de ordinul întâi . Ne vom referi la articolul despre paradoxul lui Russell pentru a vedea de ce acest lucru poate duce, în cazul relației de membru într-o teorie de seturi prea naivă, la o adevărată antinomie, adică la o contradicție demonstrată în teorie.
Deoarece se aplică de fapt oricărei relații (binare), se pot da, cu mai multă sau mai puțină fericire, variații multiple. Să-l cităm pe acesta, datorită lui Martin Gardner : este logic să scrieți un catalog care să enumere toate cataloagele care nu figurează pe ele însele și numai acestea? Răspunsul este nu, deoarece acest catalog nu poate fi listat și nici nu poate fi listat.