Limitați operațiunile

Această pagină este un apendice la articolul „  Limita (matematica elementara)  “, ceea ce explică cum se traduce în uzuale operațiunile în ceea ce privește limitele : plus , multiplicarea , compoziția, etc.

Toate rezultatele enumerate aici sunt valabile atât pentru limitele funcțiilor, cât și pentru limitele secvențelor .

Operații algebrice

Considerăm aici cazul în care efectuăm operații algebrice elementare pe funcții sau secvențe ale cărora cunoaștem limitele. În majoritatea cazurilor, se poate concluziona, dar uneori este necesar un studiu suplimentar, se numește formă nedeterminată sau FI. Aceste cazuri vor fi tratate separat.

Înmulțirea cu un real

Putem înmulți o secvență sau o funcție cu un real fix  ; obținem apoi: tu=(tunu){\ displaystyle u = (u_ {n})}f{\ displaystyle f}k{\ displaystyle k}

• secvența definită de  :;ktu=((ktu)nu){\ displaystyle ku = ((ku) _ {n})}∀nu∈NU,(ktu)nu=k×tunu{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, (ku) _ {n} = k \ times u_ {n}}
• funcția definită prin: .kf{\ displaystyle kf}∀X∈R,(kf)(X)=k×f(X){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, (kf) (x) = k \ times f (x)}

Apoi putem scrie următorul tabel, în funcție de faptul dacă secvența converge către o limită finită sau divergă spre  : ℓ{\ displaystyle \ ell}±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}

limtunu{\ displaystyle \ lim u_ {n}}		ℓ{\ displaystyle \ ell}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}
lim(ktu)nu{\ displaystyle \ lim (ku) _ {n}}	k>0{\ displaystyle k> 0}	kℓ{\ displaystyle k \ ell}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}
	k<0{\ displaystyle k <0}	kℓ{\ displaystyle k \ ell}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}

Avem exact același tabel pentru cazurile unei funcții . Nu vom menționa punctul , real sau , în care considerăm limita , pe care, prin urmare, îl vom nota pur și simplu . Limita este: f{\ displaystyle f}la{\ displaystyle a}±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}f{\ displaystyle f}limf{\ displaystyle \ lim f}kf{\ displaystyle kf}

limf{\ displaystyle \ lim f}		ℓ{\ displaystyle \ ell}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}
limkf{\ displaystyle \ lim kf}	k>0{\ displaystyle k> 0}	kℓ{\ displaystyle k \ ell}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}
	k<0{\ displaystyle k <0}	kℓ{\ displaystyle k \ ell}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}

Sumă

Putem adăuga două secvențe și sau două funcții și  : tu=(tunu){\ displaystyle u = (u_ {n})}v=(vnu){\ displaystyle v = (v_ {n})}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}

• secvența este definită de  :;tu+v{\ displaystyle u + v}∀nu∈NU,(tu+v)nu=tunu+vnu{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}}
• funcția este definită prin: .f+g{\ displaystyle f + g}∀X∈R,(f+g)(X)=f(X)+g(X){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, (f + g) (x) = f (x) + g (x)}

Putem da limita secvenței în funcție de limitele respective ale secvențelor și (respectiv. Limita funcției într-un punct , în funcție de limitele lui și ). Rezultatele sunt prezentate în tabelul următor: tu+v{\ displaystyle u + v}tu{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}f+g{\ displaystyle f + g}la{\ displaystyle a}la{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}

		limv{\ displaystyle \ lim v}(resp. ) limg{\ displaystyle \ lim g}
		ℓ′{\ displaystyle \ ell '}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}
limtu{\ displaystyle \ lim u}(resp. ) limf{\ displaystyle \ lim f}	ℓ{\ displaystyle \ ell}	ℓ+ℓ′{\ displaystyle \ ell + \ ell '}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}
	-∞{\ displaystyle - \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	FI
	+∞{\ displaystyle + \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	FI	+∞{\ displaystyle + \ infty}

Produs

Putem înmulți două secvențe și sau două funcții și  : tu=(tunu){\ displaystyle u = (u_ {n})}v=(vnu){\ displaystyle v = (v_ {n})}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}

• secvența este definită de  :;tu×v{\ displaystyle u \ times v}∀nu∈NU,(tu×v)nu=tunu×vnu{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, (u \ times v) _ {n} = u_ {n} \ times v_ {n}}
• funcția este definită prin: .f×g{\ displaystyle f \ times g}∀X∈R,(f×g)(X)=f(X)×g(X){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, (f \ times g) (x) = f (x) \ times g (x)}

Putem da limita secvenței conform limitelor respective ale secvențelor și (resp. Limita funcției într - un punct în conformitate cu limitele de și ). Rezultatele sunt prezentate în tabelul următor: tu×v{\ displaystyle u \ times v}tu{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}f×g{\ displaystyle f \ times g}la{\ displaystyle a}la{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}

		limv{\ displaystyle \ lim v}(resp. ) limg{\ displaystyle \ lim g}
		ℓ′<0{\ displaystyle \ ell '<0}	ℓ′>0{\ displaystyle \ ell '> 0}	0{\ displaystyle 0}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}
limtu{\ displaystyle \ lim u}(resp. ) limf{\ displaystyle \ lim f}	ℓ<0{\ displaystyle \ ell <0}	ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}	ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}	0{\ displaystyle 0}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}
	ℓ>0{\ displaystyle \ ell> 0}	ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}	ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}	0{\ displaystyle 0}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}
	0{\ displaystyle 0}	0{\ displaystyle 0}	0{\ displaystyle 0}	0{\ displaystyle 0}	FI	FI
	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	FI	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}
	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	FI	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}

Coeficient

Putem împărți o secvență la o secvență satisfăcătoare sau o funcție la o funcție satisfăcătoare pentru tot ceea ce se află în vecinătatea punctului considerat: tu=(tunu){\ displaystyle u = (u_ {n})}v=(vnu){\ displaystyle v = (v_ {n})}∀nu∈NUvnu≠0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad v_ {n} \ neq 0}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}g(X)≠0{\ displaystyle g (x) \ neq 0}X{\ displaystyle x}

• secvența este definită de  :;tuv{\ displaystyle {\ frac {u} {v}}}∀nu∈NU(tuv)nu=tunuvnu{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ left ({\ frac {u} {v}} \ right) _ {n} = {\ frac {u_ {n}} {v_ {n} }}}
• funcția este definită de: pentru toate, cum ar fi .fg{\ displaystyle {\ frac {f} {g}}}(fg)(X)=f(X)g(X){\ displaystyle \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}}}X{\ displaystyle x}g(X)≠0{\ displaystyle g (x) \ neq 0}

Putem da limita secvenței conform limitelor respective ale secvențelor și (resp. Limita funcției într - un punct în conformitate cu limitele de și ). Rezultatele sunt prezentate în tabelul următor: tuv{\ displaystyle {\ frac {u} {v}}}tu{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}fg{\ displaystyle {\ frac {f} {g}}}la{\ displaystyle a}la{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}

		limv{\ displaystyle \ lim v}(resp. ) limg{\ displaystyle \ lim g}
		ℓ′<0{\ displaystyle \ ell '<0}	ℓ′>0{\ displaystyle \ ell '> 0}	0-{\ displaystyle 0 ^ {-}}	0+{\ displaystyle 0 ^ {+}}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}
limtu{\ displaystyle \ lim u}(resp. ) limf{\ displaystyle \ lim f}	ℓ<0{\ displaystyle \ ell <0}	ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}	ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}	0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
	ℓ>0{\ displaystyle \ ell> 0}	ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}	ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}	0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
	0-{\ displaystyle 0 ^ {-}}	0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}	0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}	FI	FI	0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}	0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
	0+{\ displaystyle 0 ^ {+}}	0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}	0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}	FI	FI	0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}	0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	FI	FI
	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	-∞{\ displaystyle - \ infty}	+∞{\ displaystyle + \ infty}	FI	FI

Forme nedeterminate

Formele nedeterminate sunt fie tipuri de aditivi: fie multiplicativă: , sau . Să observăm că anumite forme nedeterminate sunt mai „camuflate” și nu se găsește una dintre formele precedente decât după trecerea la exponențialul logaritmului natural. +∞-(+∞){\ displaystyle + \ infty - (+ \ infty)}0×±∞{\ displaystyle 0 \ times \ pm \ infty}00{\ displaystyle {\ tfrac {0} {0}}}±∞±∞{\ displaystyle {\ tfrac {\ pm \ infty} {\ pm \ infty}}}

Pentru a depăși nedeterminarea, se utilizează una sau mai multe dintre următoarele tehnici:

• încercăm să transformăm scrierea (factorizarea, dezvoltarea, utilizarea unei expresii conjugate etc.);
• se utilizează rezultatele pe creșterile comparate ale funcțiilor obișnuite (vezi Limite de referință );
• aplicăm operațiunile algebrice pe limite .

Următorul articol discută aceste tehnici în detaliu:

Exemplu:

Încercăm să calculăm

limX→0+(1X3-1X4){\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ right )}}

Aur,

limX→0+1X3=limX→0+1X4=+∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {3}}} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty}

de aceea suntem într-un caz de formă „aditivă” nedeterminată; luăm în calcul expresia:

1X3-1X4=1X4×(X-1){\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} = {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ times ( x-1)} limX→0+1X4=+∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty} și limX→0+(X-1)=-1{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} (x-1) = - 1}

deci putem concluziona conform regulilor de multiplicare  :

limX→0+(1X3-1X4)=-∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ right ) = - \ infty}

Compoziţie

Proprietate

Să și să fie două intervale de non-triviale , și două hărți astfel încât , și un punct de sau legat de un . Eu{\ displaystyle I}J{\ displaystyle J}f:Eu→R{\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}g:J→R{\ displaystyle g: J ​​\ to \ mathbb {R}}f(Eu)⊂J{\ displaystyle f (I) \ subset J}la{\ displaystyle a}Eu{\ displaystyle I}Eu{\ displaystyle I}

dalimX→laf(X)=bșilimy→bg(y)=vs.,asa delimX→la(g∘f)(X)=vs..{\ displaystyle {\ text {Si}} \ quad \ lim _ {x \ to a} f (x) = b \ quad {\ text {et}} \ quad \ lim _ {y \ to b} g (y ) = c, \ quad {\ text {then}} \ quad \ lim _ {x \ to a} (g \ circ f) (x) = c.}

Compoziția unei funcții și a unei secvențe

Lăsați ca înainte și o secvență de valori în . g:J→R{\ displaystyle g: J ​​\ to \ mathbb {R}}(ynu){\ displaystyle (y_ {n})}J{\ displaystyle J}

dalimnu→∞ynu=bșilimy→bg(y)=vs.,asa delimnu→∞g(ynu)=vs..{\ displaystyle {\ text {Si}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} y_ {n} = b \ quad {\ text {and}} \ quad \ lim _ {y \ to b} g ( y) = c, \ quad {\ text {then}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} g (y_ {n}) = c.}

Vezi și tu

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">