Operator monoton

În matematică , un operator monoton este o funcție multifuncțională definită între spațiile preilbertiene , sau mai general a unui spațiu Banach în dualitatea sa topologică , care are o proprietate de monotonie pe care o specificăm în definițiile de mai jos. Când acest operator este o funcție reală „simplă” a unei variabile reale , această proprietate a monotoniei echivalează cu asumarea creșterii (nu neapărat stricte) a acestei funcții. Când acest operator este o hartă liniară (nu neapărat auto- unită), această proprietate a monotoniei se ridică la asumarea pozitivității semi-definite a hărții.

Dintre operatorii monotonici, este necesar să se distingă cei pe care îi calificăm drept monoton maxim . Au o proprietate de maximă care se exprimă în termeni de includere a unui grafic și care le conferă proprietăți remarcabile. Astfel, pentru un operator monoton , includerea funcționalăT{\ displaystyle T}

X+T(X)∋0,{\ displaystyle x + T (x) \ ni 0,}

în care este un set, are cel mult o soluție , în timp ce, dacă este maximă monotonă, această incluziune are o singură soluție. T(X){\ displaystyle T (x)}X{\ displaystyle x}T{\ displaystyle T}

Exemple.

• Să fie un spațiu Banach, multimea partilor sale si o buna functie convexă . În timp ce implementarea sub-diferențială , este un operator monoton (se spune că „potențial de derivă  ”); este maxim monoton dacă este închis .E{\ displaystyle E}P(E){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (E)}f:E→R¯{\ displaystyle f: E \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}} f{\ displaystyle f}∂f:E→P(E){\ displaystyle \ partial f: E \ to {\ mathcal {P}} (E)}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}
• Dacă este un spațiu Hilbert, conul multifuncțional normal la un convex  : este un operator monoton. Acesta este un caz special al precedentului, deoarece conul normal este sub-diferențialul funcției indicator a (o funcție care este convexă când este convexă). Este maxim monoton dacă este închis .E{\ displaystyle E} VS{\ displaystyle C}X∈E↦NUVS(X){\ displaystyle x \ în E \ mapsto N_ {C} (x)}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}
• Proiectorul pe o închis non-gol convexă a unui spațiu Hilbert este monotonă.

Multifuncțional

Fie și să fie două seturi. O funcție multivalorată sau multifuncțională este o aplicație a setului de părți din . Graficul său, domeniul său, imaginea și reciprocitatea acestuia sunt evaluate , respectiv , și . E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}T:E⊸F{\ displaystyle T: E \ multimap F}E{\ displaystyle E}P(F){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (F)}F{\ displaystyle F}G(T){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T)}D(T){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (T)}R(T){\ displaystyle {\ mathcal {R}} (T)}T-1{\ displaystyle T ^ {- 1}}

Dacă este un spațiu vectorial, setul părților sale moștenește în mod natural o lege externă și o adunare ( suma lui Minkowski ), care la rândul său moștenește setul de multifuncții ale lui in . F{\ displaystyle F}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}

Operator monoton

Fie un spațiu preilbertian al cărui produs scalar este notat și norma asociată . H{\ displaystyle H}⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}

Operatori monotonici  -  Se spune că o multifuncțională este: T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

• monoton dacă ∀(X,y)∈G(T)∀(X′,y′)∈G(T)⟨y-y′,X-X′⟩⩾0{\ displaystyle \ forall \, (x, y) \ in {\ mathcal {G}} (T) \ quad \ forall \, (x ', y') \ in {\ mathcal {G}} (T) \ qquad \ langle yy ', xx' \ rangle \ geqslant 0} ;
• strict monoton dacă inegalitatea de mai sus este strictă atunci când  ;X≠X′{\ displaystyle x \ neq x '}
• puternic monoton de modul dacăα>0{\ displaystyle \ alpha> 0} ∀(X,y)∈G(T)∀(X′,y′)∈G(T)⟨y-y′,X-X′⟩⩾α‖X-X′‖2{\ displaystyle \ forall \, (x, y) \ in {\ mathcal {G}} (T) \ quad \ forall \, (x ', y') \ in {\ mathcal {G}} (T) \ qquad \ langle yy ', xx' \ rangle \ geqslant \ alpha \ | xx '\ | ^ {2}}.

Proprietăți imediate  -  Fie un operator monoton. T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

1. Dacă este un real pozitiv și , este monoton.α{\ displaystyle \ alpha}la∈H{\ displaystyle a \ în H}X∈H→αT(X)+la⊂H{\ displaystyle x \ în H \ to \ alpha \, T (x) + a \ subset H}
2. T-1{\ displaystyle T ^ {- 1}} este monoton.
3. Dacă este monoton, atunci este monoton.T′:H⊸H{\ displaystyle T ': H \ multimap H}T+T′{\ displaystyle T + T '}

Putem exprima proprietatea de monotonie folosind doar norma asociată cu produsul punct al lui . Se spune că operatorii care verifică această proprietate pe un spațiu standardizat sunt acre . H{\ displaystyle H}

Monotonie și accretivitate  -  Pentru un multifuncțional , următoarele proprietăți sunt echivalente: T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

1. T{\ displaystyle T} este monoton,
2. T{\ displaystyle T}este acretiv, adică: pentru toate , pentru toate și pentru toate , avemλ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}(X,y)∈G(T){\ displaystyle (x, y) \ în {\ mathcal {G}} (T)}(X′,y′)∈G(T){\ displaystyle (x ', y') \ în {\ mathcal {G}} (T)}

‖X-X′‖≤‖(X-X′)+λ(y-y′)‖.{\ displaystyle \ | x-x '\ | \ leq \ | (x-x') + \ lambda (y-y ') \ |.}

Prin proprietatea accretivității, vedem că, dacă este monotonă, includerea T{\ displaystyle T}

0∈X+T(X){\ displaystyle 0 \ în x + T (x)}

are cel mult o soluție . Pentru operatorii monotonici maximi , această includere va avea o singură soluție. X{\ displaystyle x}

Operator monoton maxim

Definiție

Operator monoton maxim  -  Spunem că un operator este maxim monoton dacă este monoton și dacă nu există un operator monoton ca este strict inclus în . Un alt mod de exprimare a maximității unui operator monoton este următorul T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H} T′{\ displaystyle T '}G(T){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T)}G(T′){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T ')}T{\ displaystyle T}

(∀(X,y)∈G(T)⟨y-y′,X-X′⟩⩾0)⟹(X′,y′)∈G(T).{\ displaystyle \ left (\ forall \, (x, y) \ in {\ mathcal {G}} (T) \ quad \ langle y-y ', x-x' \ rangle \ geqslant 0 \ right) \ Longrightarrow (x ', y ') \ în {\ mathcal {G}} (T).}

Rezultatul acestei implicații este deci acela , care uneori poate fi interpretat ca rezultat al existenței unei soluții de incluziune ( este dat și trebuie găsit ). Pentru a extinde remarca făcută de mai sus, în cazul în care monotonia a presupune unicitatea solutiei de includere y′∈TX′{\ displaystyle y '\ in Tx'}y′{\ displaystyle y '}X′{\ displaystyle x '}T{\ displaystyle T}X{\ displaystyle x}

0∈X+T(X),{\ displaystyle 0 \ în x + T (x),}

maximalitate unui operator de monotonă face posibil să se demonstreze existența soluției de această includere.

Proprietăți imediate  -  Dacă este un operator monoton maxim, atunci T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

• pentru toți strict pozitivi, este maxim monoton,α{\ displaystyle \ alpha}αT{\ displaystyle \ alpha \, T}
• T-1:H⊸H{\ displaystyle T ^ {- 1}: H \ multimap H} este maxim monoton,
• G(T){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T)}este închis în ,H×H{\ displaystyle H \ times H}
• pentru toate , este un convex închis al ,X∈H{\ displaystyle x \ în H}T(X){\ displaystyle T (x)}H{\ displaystyle H}
• pentru toate , este un convex închis de .y∈H{\ displaystyle y \ in H}T-1(y){\ displaystyle T ^ {- 1} (y)}H{\ displaystyle H}

Pentru suma a doi operatori monotonici maxim, consultați secțiunea dedicată acestui subiect dificil.

Exemple

• Fie un spațiu Hilbert și o funcție convexă închisă adecvată . Atunci aplicația sub-diferențială este maxim monotonă. Problema găsirii unui astfel de lucru este echivalentă cu cea a găsirii unui punct de minimizare .H{\ displaystyle H}f:H→R∪{+∞}{\ displaystyle f: H \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}} ∂f:H⊸H{\ displaystyle \ partial f: H \ multimap H}X∈H{\ displaystyle x \ în H}0∈∂f(X){\ displaystyle 0 \ in \ partial f (x)}f{\ displaystyle f}
• Să fie un spațiu Hilbert al cărui produs scalar este notat , un nevid închis convexă a , este conul normal de la en și un univoc monotonă (nu neapărat maximă) semicontinuă operatorul care conține în domeniul său. Atunci este maxim monoton. Problema găsirii unui astfel de echivalent cu cea a găsirii unei soluții la următoarea problemă de inegalitate variațională :H{\ displaystyle H}⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}K{\ displaystyle K}H{\ displaystyle H}NUK(X){\ displaystyle N_ {K} (x)}K{\ displaystyle K}X{\ displaystyle x}F:K→H{\ displaystyle F: K \ to H}K{\ displaystyle K}T:H⊸H:X↦T(X)=F(X)+NUK(X){\ displaystyle T: H \ multimap H: x \ mapsto T (x) = F (x) + N_ {K} (x)}X∈H{\ displaystyle x \ în H}0∈T(X){\ displaystyle 0 \ în T (x)}X∈H{\ displaystyle x \ în H}
  X∈Kși∀X′∈K⟨F(X),X′-X⟩⩾0.{\ displaystyle x \ in K \ qquad {\ mbox {and}} \ qquad \ forall x '\ in K \ quad \ langle F (x), x'-x \ rangle \ geqslant 0.}
  
  

Caracterizări

Iată câteva caracterizări foarte utile ale monotoniei maxime a unui operator. Desemnăm operatorul de identitate. Eu{\ displaystyle I}

Caracterizare  -  Fie un spațiu Hilbert și un operator. Următoarele proprietăți sunt echivalente: H{\ displaystyle H}T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

1. T{\ displaystyle T} este maxim monoton,
2. T{\ displaystyle T}este monoton și ,R(Eu+T)=H{\ displaystyle {\ mathcal {R}} (I + T) = H}
3. pentru toate , este non-expansiv și .λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}(Eu+λT)-1{\ displaystyle (I + \ lambda T) ^ {- 1}}D((Eu+λT)-1)=H{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ((I + \ lambda T) ^ {- 1}) = H}

Rețineți că un operator non-expansiv este neapărat univoc . Proprietatea este echivalentă cu a spune că pentru orice , (este un singur) sau chiar că includerea D((Eu+T)-1)=H{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ((I + T) ^ {- 1}) = H}z∈H{\ displaystyle z \ în H}(Eu+T)-1(z)≠∅{\ displaystyle (I + T) ^ {- 1} (z) \ neq \ varnothing}

X+TX∋z{\ displaystyle x + Tx \ ni z}

are o singură (și o singură) soluție . X{\ displaystyle x}

Rezolvent unui operator monotonă maximal este urmatoarea non-expansiv (deci univoce) Harta

RT: =(Eu+T)-1:H→H.{\ displaystyle R_ {T}: = (I + T) ^ {- 1}: H \ to H.}

Solventul este definit în ansamblu. Mai mult, dacă introducem operatorul univoc , avem H{\ displaystyle H}ST: =Eu-RT{\ displaystyle S_ {T}: = I-R_ {T}}

∀(X,X′)∈H2‖RTX-RTX′‖2+‖STX-STX′‖2⩽‖X-X′‖2,{\ displaystyle \ forall (x, x ') \ în H ^ {2} \ quad \ | R_ {T} x-R_ {T} x' \ | ^ {2} + \ | S_ {T} x-S_ {T} x '\ | ^ {2} \ leqslant \ | xx' \ | ^ {2},}

proprietate echivalentă cu următoarea

∀(X,X′)∈H2⟨RTX-RTX′,X-X′⟩⩾‖RTX-RTX′‖2.{\ displaystyle \ forall (x, x ') \ in H ^ {2} \ quad \ langle R_ {T} x-R_ {T} x', x-x '\ rangle \ geqslant \ | R_ {T} x -R_ {T} x '\ | ^ {2}.}

Această proprietate exprimă non-expansivitatea fermă a rezolvatului . RT{\ displaystyle R_ {T}}

Suma a doi operatori monotonici maxim

Dacă suma a doi operatori monotonici este un operator monoton, suma a doi operatori monotonici maximi nu este neapărat un operator monoton maxim , doar pentru că intersecția domeniului lor poate fi goală (caz în care domeniul sumelor lor este gol) . Avem următorul rezultat, în care denotă interiorul unei părți , denotă aderența puternică a acesteia și se spune că este delimitat local dacă există un vecinătate a cărui imagine este delimitată. P∘{\ displaystyle P ^ {\ circ}}P⊂E{\ displaystyle P \ subset E}P¯{\ displaystyle {\ overline {P}}} T{\ displaystyle T}X∈D(T){\ displaystyle x \ in {\ mathcal {D}} (T)}V{\ displaystyle V}X{\ displaystyle x} T(V){\ displaystyle T (V)}

Suma a doi operatori monotonici maximi  -  Fie un spațiu reflexiv Banach și , doi operatori monotonici maximi care îndeplinesc una dintre următoarele două condiții echivalente: E{\ displaystyle E}T1{\ displaystyle T_ {1}}T2:E⊸E{\ displaystyle T_ {2}: E \ multimap E}

1. D(T1)∩D(T2)∘≠∅{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (T_ {1}) \ cap {\ mathcal {D}} (T_ {2}) ^ {\ circ} \ neq \ varnothing},
2. există un punct în care este delimitat local.D(T1)¯∩D(T2)¯{\ displaystyle {\ overline {{\ mathcal {D}} (T_ {1})}} \ cap {\ overline {{\ mathcal {D}} (T_ {2})}}}T2{\ displaystyle T_ {2}}

Atunci este maxim monoton. T1+T2{\ displaystyle T_ {1} + T_ {2}}

Rezoluție de incluziune monotonă

Fie un operator monoton maxim. Această secțiune descrie câțiva algoritmi pentru rezolvarea incluziunii monotonice.T:E⊸E{\ displaystyle T: E \ multimap E}

0∈T(X).{\ displaystyle 0 \ în T (x).}

Este vorba de a găsi astfel încât setul de să conțină elementul nul. Descrierile sunt scurte și se referă la articolele dedicate algoritmilor corespunzători. X∈E{\ displaystyle x \ în E}T(X){\ displaystyle T (x)}E{\ displaystyle E}

Algoritm proximal

Vedea

• articolul „  Algoritm proximal  ” pentru cazul în care este maxim monoton șiT{\ displaystyle T}
• articolul „  Algoritm proximal (optimizare)  ” pentru cazul particular în care este sub-diferențialul unei funcții convexe închise corespunzătoare.T{\ displaystyle T}

Algoritmul Douglas-Rachford

Acesta este un algoritm potrivit pentru găsirea unui zero din suma a doi operatori monotonici maxim și . Prin urmare, căutăm astfel încât LA+B{\ displaystyle A + B}LA{\ displaystyle A}B:H⊸H{\ displaystyle B: H \ multimap H}X∈H{\ displaystyle x \ în H}

0∈(LA+B)(X).{\ displaystyle 0 \ in (A + B) (x).}

Algoritmul este potrivit pentru cazul în care punctele proximale și ale unui punct dat pot fi calculate cu ușurință. Xp: =RLA(X){\ displaystyle x_ {p}: = R_ {A} (x)}Xp′: =RB(X){\ displaystyle x_ {p} ': = R_ {B} (x)}X{\ displaystyle x}

Algoritm Douglas-Rachford  -  Ne oferim un iterat inițial și un scalar . Algoritmul definește o serie de iterații , până când este satisfăcut un test de oprire. Trece de la până la următorii pași: X0∈H{\ displaystyle x_ {0} \ în H}r>0{\ displaystyle r> 0}X1,X2,...∈H{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ în H}Xk{\ displaystyle x_ {k}}Xk+1{\ displaystyle x_ {k + 1}}

1. yk: =RrLA(Xk){\ displaystyle y_ {k}: = R_ {rA} (x_ {k})},
2. zk: =RrB(2yk-Xk){\ displaystyle z_ {k}: = R_ {rB} (2y_ {k} -x_ {k})},
3. Xk+1: =Xk+2αk(zk-yk){\ displaystyle x_ {k + 1}: = x_ {k} +2 \ alpha _ {k} (z_ {k} -y_ {k})}, unde .αk∈]0,1]{\ displaystyle \ alpha _ {k} \ in {] 0,1]}}

Arătăm că secvența generată de acest algoritm converge slab către un punct , dacă are un zero și amortizoarele sunt astfel încât (Xk){\ displaystyle (x_ {k})}X{\ displaystyle x}LA+B{\ displaystyle A + B} αk∈]0,1]{\ displaystyle \ alpha _ {k} \ in {] 0,1]}}

∑kαk(1-αk)=+∞;{\ displaystyle \ sum _ {k} \ alpha _ {k} (1- \ alpha _ {k}) = + \ infty;}

în acest caz este un zero de . RrLA(X){\ displaystyle R_ {rA} (x)}LA+B{\ displaystyle A + B}

Fie un spațiu Banach și dualul său topologic . Pentru și , stabilim: V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V ^ {\ prime}}X∈V{\ displaystyle x \ în V}X′∈V′{\ displaystyle x ^ {\ prime} \ în V ^ {\ prime}}

⟨X′,X⟩: =X′(X){\ displaystyle \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle: = x ^ {\ prime} (x)}.

Se spune că un operator (nu neapărat liniar) al lui in este monoton dacă: LA{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V ^ {\ prime}}

∀(X,y)∈V2:⟨LAX-LAy,X-y⟩⩾0{\ displaystyle \ forall \, (x, y) \ în V ^ {2}: \ quad \ langle Ax-Ay, xy \ rangle \ geqslant 0}.

Anexe

Note și referințe

1. Acest rezultat se datorează lui GJ Minty (1964) dacă este un spațiu vector topologic și este convex, finit și continuu. Se datorează RT Rockafellar (1966, 1970b) când este un spațiu Banach și este convex, curat și semi-continuu dedesubt.E{\ displaystyle E}f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}f{\ displaystyle f}
2. Propoziția 2.1 în Brézis (1973) .
3. Monotonia maximă a sub-diferențialului unei funcții convexe închise corespunzătoare se datorează lui Minty (1964) și Moreau (1965).
4. Monotonicitatea maximă a operatorului utilizat pentru a defini o problemă a inegalităților variaționale a fost demonstrată de Rockafellar (1970).
5. Faptul că rezolvatul este definit peste tot și este lipsit de ambiguitate datează cel puțin de la Minty (1962).
6. A se vedea teorema 1 în Rockafellar (1970).
7. Algoritmul este prezentat în articolul lui Douglas și Rachford (1956).
8. Brezis 1966 .

Articole similare

• Funcția convex-concavă
• Funcția monotonă
• Teorema lui Browder-Minty

• Teorema Kachurovskii  (ro)

Bibliografie

• (ro) HH Bauschke și PL Combettes, Analiza convexă și teoria operatorilor monotoni în Hilbert Spaces , Springer, 2011
• (ro) JM Borwein și QJ Zhu, Tehnici de analiză variațională , Societatea canadiană de matematică, Springer Science + Business Media, Berlin, 2010
• Haïm R. Brezis , „  Operatori monotoni  ”, Seminar Choquet - Inițiere la analiză , t.  5, n o  2 (1965-1966),1966, articolul nr .  10 ( citiți online )
• (ro) J. Douglas și HH Rachford, „Despre soluția numerică a problemelor de conducere a căldurii în două și trei variabile spațiale”, Traduceri ale Societății Americane de Matematică , vol. 82, 1956, p. 421-439
• (ro) GJ Minty, „Operatori monotoni (neliniari) în spațiul Hilbert”, Duke Math. J. , voi. 29, 1962, p. 341-346
• (ro) GJ Minty, „Despre monotonitatea gradientului unei funcții convexe”, Pac. J. Math. , zbor. 14, 1964, p. 243-247
• JJ Moreau, „Proximitate și dualitate într-un spațiu hilbertian”, Bull. Soc. Matematica. Pr. , Vol. 93, 1965, p. 273-299
• (ro) RR Phelps, funcții convexe, operatori monotoni și diferențialitate , col. „Note de curs în matematică” (nr. 1364), Springer-Verlag, Berlin, 1993
• (ro) RT Rockafellar, „Caracterizarea subdiferențialelor funcțiilor convexe”, Pac. J. Math. , zbor. 17, 1966, p. 497-510
• (ro) RT Rockafellar, „Despre maximitatea sumelor operatorilor monotoni neliniari”, Traduceri ale American Mathematical Society , vol. 149, 1970, p. 75-88
• (ro) RT Rockafellar, „Despre monotonicitatea maximă a cartografierilor subdiferențiale”, Pac. J. Math. , zbor. 33, 1970b, p. 209-216.
• (ro) RT Rockafellar și RJ-B. Wets, Analiza variațională, col. „  Grundlehren der mathematischen Wissenschaften  ” (nr. 317), Springer-Verlag, Berlin, 1998

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">