Otaedru trunchiat

Descrierea imaginii truncatedoctahedron.gif.

Elemente

Fețe	Margini	Vârfuri
14 (8 hexagone și 6 pătrate )	36	24 de gradul 3

Date esentiale

Tip	Solid Arhimedean
Caracteristică	2
Proprietăți	Semi-regulat și convex, zonoedru
Dual	Tetrakihexahedron

Octoedrul trunchiat sau tétrakaidécaèdre lui Arhimede este un poliedru având 8 fețe hexagonale regulate , 6 fețe pătrate , 24 vârfuri identice și 36 de margini egale. Fețele sale fiind poligoane regulate care se întâlnesc la vârfuri identice, octaedrul trunchiat este un solid arhimedian . Fiecare față având un centru de simetrie , este, de asemenea, un zonoedru .

Coordonate și permutări

Prin efectuarea permutațiilor de (0, ± 1, ± 2) obținem coordonatele carteziene ale vârfurilor unui octaedru trunchiat centrat la origine. Vârfurile sunt, de asemenea, cele a 12 dreptunghiuri ale căror lungimi sunt paralele cu axele de coordonate. ${\ displaystyle 6 \ times 4 = 24}$

Octaedrul trunchiat poate fi, de asemenea, reprezentat prin coordonate mai simetrice în dimensiunea a patra: cele 24 permutări ale (1,2,3,4) formează vârfurile unui octaedru trunchiat în subspațiul dimensiunii 3 $x + y + z + w = 10$ . Din acest motiv, octaedrul trunchiat este cunoscut uneori și sub numele de permutoedru . Construcția generalizează la orice $n$ , și formează un politop de dimensiune $n - 1$ , vârfurile sale fiind obținute de $n !$ permutări ale $(1,2, .., n )$ . De exemplu, cele șase permutări ale (1,2,3) formează un hexagon regulat în planul $x + y + z = 6$ .

Construcție geometrică

Obținem un tetrakaidecaedru arhimedean (sau octaedru trunchiat) prin trunchierea celor 6 vârfuri ale unui octaedru regulat la înălțimea unei treimi din fiecare margine.

De asemenea, putem construi un octaedru trunchiat folosind modelul opus.

Măsurători și volum

Dacă marginile octaedrului trunchiat sunt de lungime a ,

volumul său este:

{\ displaystyle V = 8 {\ sqrt {2}} \ a ^ {3} \ approx 11 {,} 3137 \ a ^ {3}}

Demonstrație

Octaedrul din care provine octaedrul trunchiat are o lungime de margine . O putem vedea ca unirea a două piramide de bază pătrată (muchia $b$ ) și înălțime , deci volum . Fiecare dintre cele 6 piramide mici scoase din octaedru a fost de 3 ori mai mică, deci 3 3 = 27 de ori mai puțin voluminoasă: volumul octaedrului trunchiat este deci: ${\ displaystyle b = 3a}$ ${\ displaystyle \ textstyle b {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle v_ {0} = {\ frac {1} {3}} \ left (b {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ right) b ^ {2} = b ^ { 3} {\ frac {\ sqrt {2}} {6}}}$ ${\ displaystyle v_ {1} = v_ {0} / 27.}$ ${\ displaystyle \ textstyle V = 2v_ {0} -6v_ {1} = \ left (2 - {\ frac {6} {27}} \ right) b ^ {3} {\ frac {\ sqrt {2}} {6}} = {\ frac {8} {27}} {\ sqrt {2}} \ b ^ {3} = 8 {\ sqrt {2}} \ a ^ {3}.}$

aria suprafeței sale este:

{\ displaystyle A = 6 \, (1 + 2 {\ sqrt {3}}) \ a ^ {2} \ approx 26 {,} 7846 \ a ^ {2}}

Demonstrație

Suprafața octaedrului trunchiat este compusă din 6 fețe pătrate și 8 fețe hexagonale, fiecare parte $a$ . Fiecare pătrat este de suprafață Putem vedea fiecare hexagon ca uniunea a 6 triunghiuri echilaterale de latură $are,$ prin urmare, suprafață : aria fiecărui hexagon este Suprafața totală este astfel în sfârșit: ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {c}} = a ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle A _ {\ mathrm {t}} = {\ frac {1} {2}} (a) \ left (a {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) = a ^ {2} {\ frac {\ sqrt {3}} {4}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle A _ {\ mathrm {h}} = 6A _ {\ mathrm {t}} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle A = 6A _ {\ mathrm {c}} + 8A _ {\ mathrm {h}} = (6 + 12 {\ sqrt {3}}) \ a ^ {2}.}$

Note și referințe

Un tetrakaidecaedru este un poliedru cu 14 fețe .

Vezi și tu

Bibliografie

(ro) Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design , 1979, ( ISBN 0-486-23729-X )
(ro) Mathworld: octaedrul trunchiat

linkuri externe

(în) [1]
(ro) Virtual Polyhedra: Enciclopedie poliedre
(în) [2]
(în) [3]