Metoda Halley
În analiza numerică , metoda lui Halley este un algoritm pentru găsirea unui zero al unei funcții utilizate pentru funcțiile unei variabile reale derivabile de două ori și cu a doua derivată continuă (adică C 2 ). Metoda, prezentată de astronomul Edmond Halley , este o generalizare a metodei lui Newton , cu convergență cubică .
State
Fie f o funcție C² și să aibă un zero de f . Metoda lui Halley constă în iterație
Xnu+1=Xnu-2f(Xnu)f′(Xnu)2[f′(Xnu)]2-f(Xnu)f″(Xnu){\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {2f (x_ {n}) f '(x_ {n})} {2 {[f' (x_ {n})]} ^ {2} -f (x_ {n}) f '' (x_ {n})}}}![{\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {2f (x_ {n}) f '(x_ {n})} {2 {[f' (x_ {n})]} ^ {2} -f (x_ {n}) f '' (x_ {n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142614c0378a1d61cb623c1352bf85b6b7bc4397)
de la o valoare x 0 aproape de o .
În vecinătatea unui , secvența verifică:
|Xnu+1-la|<K|Xnu-la|3{\ displaystyle | x_ {n + 1} -a | <K | x_ {n} -a | ^ {3}}![{\ displaystyle | x_ {n + 1} -a | <K | x_ {n} -a | ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7393b84db2c163b254381d7fc11e13fd08fcd48)
,
cu K > 0; ceea ce înseamnă că convergența este deci (în cel mai rău caz) cubică.
Deducere
Formula este dedusă de exemplu din metoda lui Newton aplicată funcției :
g=f/f′{\ displaystyle g = f / {\ sqrt {f '}}}![{\ displaystyle g = f / {\ sqrt {f '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75925d6bb2acaaa7aeb303e87b469ad086d7d615)
Xnu+1=Xnu-g(Xnu)g′(Xnu){\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {g (x_ {n})} {g '(x_ {n})}}}![{\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {g (x_ {n})} {g '(x_ {n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0431705ae192bdb9acb705bbdc7431893412ee)
,
cu
g′(X)=2[f′(X)]2-f(X)f″(X)2f′(X)f′(X),{\ displaystyle g '(x) = {\ frac {2 {[f' (x)]} ^ {2} -f (x) f '' (x)} {2f '(x) {\ sqrt {f '(X)}}}},}![{\ displaystyle g '(x) = {\ frac {2 {[f' (x)]} ^ {2} -f (x) f '' (x)} {2f '(x) {\ sqrt {f '(X)}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dfe10fa56600f9202baa615d5c82674ceadb0c)
de aici rezultatul. Dacă f ′ ( c ) = 0, acest lucru se aplică numai dacă g poate fi extins la c .
Note și referințe
-
Edmond Halley , „ O metodă nouă, exactă și ușoară de a găsi rădăcinile oricăror ecuații în general și fără reducere anterioară ”, Philosophical Transaction of the Royal Society, Londra , vol. 18,1694, p. 136-145
Vezi și tu
Legături interne
linkuri externe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">