Meander (matematică)
Un meandr este, în matematică , o configurație în planul ℝ 2 format din două curbe plane simple care se intersectează transversal. Intuitiv, un meandru poate fi văzut ca un drum care taie un râu peste un număr de poduri. Spunem meandru deschis când cele două curbe sunt izotopice la linii drepte ale planului și meandru închis când o curbă este închisă, iar celălalt izotop la o linie dreaptă.
În cazul deschis, putem găsi întotdeauna o izotopie care trimite una dintre cele două curbe pe o dreaptă L , iar numărul de puncte de trecere este un număr întreg pozitiv n .
În cazul închis, se poate găsi întotdeauna o izotopie care trimite curba necompactă pe o dreaptă L , iar numărul de puncte de trecere este un număr întreg 2n pozitiv .
Se spune că două meandre sunt echivalente dacă sunt izotopice în planul ℝ 2 .
Meandrele sunt obiecte greu de numărat. Nu se cunoaște nicio formulă pentru numărul M n de meandre care au n intersecții.
Puteți colora în alb și negru regiunile planului determinate de un meandru alternând.
Numere serpuitoare
Se spune că un număr este un număr meandrat atunci când face parte din seria de numere care indică numărul de moduri de reprezentare a intersecțiilor dintre o linie dreaptă și o curbă închisă având unul sau mai multe meandre.
Numărul de meandre distincte de ordinul n este numărul meandrului M n . Mai multe A005316 din OEIS de numere șerpuitoare începând cu 1, 1, 1, 2, 3, 8, 14, 42, 81, 262.
Deschide meandrul
În cazul deschis, putem găsi întotdeauna o izotopie care trimite una dintre cele două curbe pe o dreaptă L , iar numărul de puncte de trecere este un număr întreg n pozitiv .
Având în vedere o linie fixă orientată L în planul ℝ 2 , un meandru deschis de ordinul n este o curbă orientată care nu se intersectează în ℝ 2 care intersectează transversal linia în n puncte pentru un anumit număr întreg pozitiv n . Se spune că două meandre deschise sunt echivalente dacă sunt homeomorfe în plan.
Exemple
Meandrul deschis de ordinul 1 intersectează linia o dată:
Meandrul deschis de ordinul 2 intersectează linia de două ori:
Deschideți numere serpuitoare
Numărul de meandre deschise distincte de ordinul n este numărul meandrului deschis m n . Lista numerelor deschise șerpuitoare începe cu:
m 1 = 1, m 2 = 1, m 3 = 2, m 4 = 3, m 5 = 8, m 6 = 14 .Meandru închis
Numere închise meandrate
Mai multe A005315 din OEIS de numere șerpuitoare închise începe:
M 1 = 1, M 2 = 1, M 3 = 2, M 4 = 8, M 5 = 42, M 6 = 262.Semi-meandru
Având în vedere o jumătate de linie R în , 2 , o jumătate de meandră de ordinul n este o curbă care nu se intersectează în ℝ 2 care intersectează transversal jumătatea de linie în n puncte pentru un număr întreg pozitiv n . Se spune că două semi-meandre sunt echivalente dacă sunt homeomorfe în plan.
Exemple
Semi-meandrul de ordinul întâi taie jumătate de linie o dată.
Semis meandrul de ordinul doi taie jumătatea de două ori:
Numere semi-meandre
Numărul distincte semi-meandre de ordinul n este semi-meandru număr M n ( de obicei , notate cu o linie de mai sus în loc de o linie de mai jos). Mai multe A000682 de numere OEIS semi-meandre încep cu:
M 1 = 1, M 2 = 1, M 3 = 2, M 4 = 4, M 5 = 10, M 6 = 24.Proprietățile numerelor șerpuitoare
Există o funcție injectivă de la numere șerpuitoare la numere deschise șerpuitoare: M n = m 2 n -1 .
Fiecare număr meandrant poate fi încadrat cu numere semi-meandrante:
M n ≤ M n ≤ M 2 nPentru n > 1, numerele șerpuit sunt chiar .