Inegalitate aritmetico-geometrică
În matematică , inegalitatea aritmetică-geometrică (AGI) stabilește o legătură între media aritmetică și media geometrică . Acesta este un rezultat clasic legat de convexitate .
State
Media geometrică a realilor strict pozitivi este mai mică decât media lor aritmetică:
nu{\ displaystyle n}X1,...,Xnu{\ displaystyle x_ {1}, \, \ dots, \, x_ {n}}
X1...Xnunu⩽X1+⋯+Xnunu{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}},
cu egalitate (dacă și) numai dacă .
X1=X2=⋯=Xnu{\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ dots = x_ {n}}
Demonstrație
Cele două reale (media aritmetică) și (media geometrică) fiind strict pozitive, inegalitatea care trebuie demonstrată este echivalentă (prin creșterea strictă a logaritmului natural ) la
X1+⋯+Xnunu{\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}X1...Xnunu=(X1...Xnu)1/nu{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} = (x_ {1} \ dots x_ {n}) ^ {1 / n}}
ln((X1...Xnu)1/nu)⩽ln(X1+⋯+Xnunu),{\ displaystyle \ ln \ left ((x_ {1} \ dots x_ {n}) ^ {1 / n} \ right) \ leqslant \ ln \ left ({\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ { n}} {n}} \ right),}sau din nou (conform ecuației funcționale a logaritmului ) la
ln(X1)+⋯+ln(Xnu)nu⩽ln(X1+⋯+Xnunu).{\ displaystyle {\ frac {\ ln (x_ {1}) + \ cdots + \ ln (x_ {n})} {n}} \ leqslant \ ln \ left ({\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \ dreapta).}Această ultimă inegalitate nu este alta decât inegalitatea lui Jensen pentru centrele izobari , aplicată funcției logaritmice , care este concavă .
Cazul egalității apare din faptul că această concavitate este strictă .
Inegalitatea aritmetico-geometrică poate fi demonstrată și ca un corolar al inegalității Muirhead , aplicată secvențelor (1,0, etc. 0) și (1 / n, etc., 1 / n).
Generalizare
Ponderare
Inegalitatea aritmetică-geometrică se generalizează la mijloace aritmetice și geometrice ponderate :
Dacă și apoi, observând :
X1,...,Xnu⩾0{\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ geqslant 0}α1,...,αnu>0{\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}> 0}α=α1+...+αnu{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n}}
X1α1...Xnuαnuα⩽α1X1+...+αnuXnuα,{\ displaystyle {\ sqrt [{\ alpha}] {x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} \ leqslant {\ frac {\ alpha _ {1} x_ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n} x_ {n}} {\ alpha}},}
cu egalitate dacă și numai dacă toate sunt egale.
Xk{\ displaystyle x_ {k}}
Într-adevăr, presupunând fără pierderea generalității că niciunul nu este zero și notând (strict pozitiv și sumar ), inegalitatea este echivalentă (a se vedea mai sus ) cu
Xk{\ displaystyle x_ {k}}tk: =αk/α{\ displaystyle t_ {k}: = \ alpha _ {k} / \ alpha}1{\ displaystyle 1}
t1ln(X1)+⋯+tnuln(Xnu)⩽ln(t1X1+⋯+tnuXnu){\ displaystyle t_ {1} \ ln (x_ {1}) + \ dots + t_ {n} \ ln (x_ {n}) \ leqslant \ ln (t_ {1} x_ {1} + \ dots + t_ { n} x_ {n})},
care nu este altul decât inegalitatea generală Jensen pentru funcția logaritmică (concavă), iar cazul egalității apare din concavitatea strictă.
Inegalitatea Maclaurin
De asemenea, putem generaliza inegalitatea aritmetico-geometrică observând că media aritmetică corespunde primei funcții simetrice elementare, iar media geometrică ultimei. Inegalitatea aritmetico-geometrică este rescrisă:
σnu(nunu)nu⩽σ1(nu1)1{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}} \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}Și putem generaliza:
σnu(nunu)nu⩽σnu-1(nunu-1)nu-1⩽⋯⩽σ1(nu1)1{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {\ sigma _ {n-1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n-1}}}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}este
X1...Xnunu⩽X1...Xnu-1+⋯+X2...Xnununu-1⩽⋯⩽X1X2+⋯+Xnu-1Xnu(nu2)⩽X1+⋯+Xnunu{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {x_ {1} \ dots x_ {n- 1} + \ dots + x_ {2} \ dots x_ {n}} {n}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt {\ frac {x_ {1} x_ {2} + \ dots + x_ {n -1} x_ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {2}}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}Acestea sunt inegalitățile Maclaurin .
Vezi și tu
Articole similare
Bibliografie
-
Augustin Cauchy , Opere complete , Gauthier-Villard,1867( citiți online ) , p. 376citiți online pe Gallica
- Martin Aigner și Günter M. Ziegler , Divine Reasonings , Springer ,2008, A 2 -a ed. ( citiți online ) , p. 127-129
- (ro) Peter S. Bullen, Manualul mijloacelor și inegalităților lor , Kluwer Academic Publishers ,2003( citiți online ) , p. 71-153
- (ro) GH Hardy , JE Littlewood și G. Pólya , Inegalități , CUP ,1952, A 2 -a ed. ( citiți online ) , p. 16-21
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">