Modelul Stoner-Wohlfarth

Modelul Stoner-Wohlfarth este cel mai simplu model pentru explicarea fizicii boabelor magnetice monodominiale (compuse dintr-un singur domeniu magnetic ). Permite calcularea ciclului de histerezis al particulei și este foarte eficient în cazul particulelor magnetice mici cu o puternică anizotropie . Prin urmare, este esențial pentru descrierea sistemelor de stocare a datelor feromagnetice , în biomagnetism , magnetism de rocă sau chiar în paleomagnetism .

Istorie

În 1946 , Erich Peter Wohlfarth a absolvit fizica la Universitatea din Leeds . Și-a continuat doctoratul la aceeași universitate sub supravegherea profesorului Edmund Clifton Stoner . Și-a obținut doctoratul în 1948 . În același an, au publicat împreună articolul „Un mecanism de histerezis magnetic în aliaje eterogene”. Modelul din acest articol este cunoscut astăzi sub numele de model Stoner-Wohlfarth. Acest lucru a ajutat la înțelegerea comportamentului materialelor feromagnetice precum fierul și a modificărilor proprietăților magnetice cu temperatura. A fost apoi aplicat pentru dezvoltarea amintirilor magnetice moderne.

Această lucrare a fost apoi preluată de John P. Slonczewski într-o cercetare IBM nepublicată, care a trasat rezultatul modelului sub forma unui astroid.

Acest model care necesită calculul integralei unei multitudini de poli de magnetizare orientați aleatoriu, este acum ușor de realizat de computer, totuși, la momentul dezvoltării sale, domnul Stoner și domnul Wohlfarth o făceau la îndemână și prin trigonometrie calcul.

Descrierea modelului

În modelul Stoner-Wohlfarth, magnetizarea este reprezentată de vector . Acest vector se poate roti atunci când vectorul ( câmpul magnetic ) se schimbă. Atunci luăm în considerare axa magnetică a parametrului anizotropie . Această axă reprezintă axa de magnetizare ușoară, care este favorabilă din punct de vedere energetic. De-a lungul acestei axe, cele două direcții sunt în general echivalente. Pe măsură ce câmpul crește, magnetizarea tinde să se alinieze de-a lungul acestuia. Un echilibru se stabilește într-o direcție între axa magnetizării ușoare și direcția câmpului magnetic pentru câmpurile slabe. Sub câmpuri puternice, magnetizarea  este complet aliniată cu  . M{\ displaystyle M}H{\ displaystyle H}Ktu{\ displaystyle K_ {u}}H{\ displaystyle H}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M} H{\ displaystyle H}

În timpul unei variații a câmpului , magnetizarea rămâne în planul definit de vector și axa magnetizării ușoare. Considerăm unghiurile între și și între și axa de magnetizare ușoară. H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}φ{\ textstyle \ varphi}M{\ displaystyle M}H{\ textstyle H}θ{\ textstyle \ theta}H{\ textstyle H}

Minimizați energia sistemului

Energia sistemului este format din două sub-energii: Primul ( ) se datorează axa de anizotropie (un alt nume pentru axa de magnetizare ușoară), ponderate cu coeficientul  . Al doilea ( )  este energia Zeeman legată de valoarea câmpului  . Ela{\ displaystyle E_ {a}}Ktu{\ displaystyle K_ {u}}Ez{\ displaystyle E_ {z}}H{\ displaystyle H}

Ela=Ktupăcat2⁡(φ-θ){\ displaystyle E_ {a} = K_ {u} \ sin ^ {2} (\ varphi - \ theta)}

Ez=-μ0M→⋅H→=-μ0HMscos⁡(φ){\ displaystyle E_ {z} = - \ mu _ {0} {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {H}} = - \ mu _ {0} HM_ {s} \ cos (\ varphi)}

Energia sistemului este

E=V(Ela+Ez)=KtuVpăcat2⁡(φ-θ)-μ0MsVHcos⁡(φ){\ displaystyle E = V (E_ {a} + E_ {z}) = K_ {u} V \ sin ^ {2} (\ varphi - \ theta) - \ mu _ {0} M_ {s} VH \ cos (\ varphi)} (1)

unde este volumul probei, este valoarea magnetizării de saturație și este permitivitatea vidului . V{\ displaystyle V}Ms{\ displaystyle M_ {s}}μ0{\ displaystyle \ mu _ {0}}

Un sistem tinde întotdeauna să-și minimizeze energia, așa că suntem în căutarea minimelor acestei formule pentru orientări ale axei anizotropiei și ale . Putem compara această reflexie cu un obiect supus forței gravitaționale. Cu cât obiectul este mai mare, cu atât este mai mare energia sa gravitațională. Dacă o minge este scăpată, aceasta va cădea, apoi se va rostogoli până la punctul cel mai de jos, într-o gol. Procedând astfel, își scade energia potențială. Pentru sistemul nostru, nu există deplasare, ci un unghi de magnetizare, iar acest lucru poate varia pentru a minimiza energia sistemului. H{\ displaystyle H}

EC Stoner și EP Wohlfarth au normalizat ecuația, cu : h=μ0MsH2Ktu{\ displaystyle h = {\ mu _ {0} M_ {s} H \ peste 2K_ {u}}}

η=E2KtuV=14-14cos⁡(2(φ-θ))-hcos⁡(φ){\ displaystyle \ eta = {E \ over 2K_ {u} V} = {1 \ over 4} - {1 \ over 4} \ cos (2 (\ varphi - \ theta)) - h \ cos (\ varphi) } (2)

Această ecuație este prezentată în Figura 2 pentru un unghi de magnetizare ușor dat. Se poate observa că minimul variază în funcție de axa direcției de magnetizare. Căci , care corespunde , există două poziții stabile; 15 ° și 195 ° pe grafic. h=0{\ displaystyle h = 0}H=0{\ displaystyle H = 0}

Pentru a găsi minimele, trebuie să obținem  : η{\ displaystyle \ eta}

∂η∂φ=12păcat⁡(2(φ-θ))+hpăcat⁡(φ)=0{\ displaystyle {\ partial \ eta \ over \ partial \ varphi} = {1 \ over 2} \ sin (2 (\ varphi - \ theta)) + h \ sin (\ varphi) = 0} (3)

Apoi, trebuie să diferențiem maximele de minimele; a doua derivată trebuie să fie pozitivă deoarece căutăm valori minime:

∂2η∂φ2=cos⁡(2(φ-θ))+hcos⁡(φ)>0{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ eta \ over \ partial \ varphi ^ {2}} = \ cos (2 (\ varphi - \ theta)) + h \ cos (\ varphi)> 0} (4)

Cicluri de histerezis

În general, câmpul variază de-a lungul unei singure axe, trecând de la o valoare pozitivă la o valoare negativă. Pentru orice valoare de , putem determina o valoare de . În cele din urmă întrebăm:H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}φ{\ displaystyle \ varphi}mh=cos⁡(φ){\ displaystyle m_ {h} = \ cos (\ varphi)}

Acest lucru face posibilă complotarea împotriva . Două soluții apar pentru ecuația 3 pentru fiecare valoare a două sau patru valori următoare . Cu toate acestea, pe unele dintre aceste curbe, ecuația 4 nu este respectată. Deci, există o singură stare stabilă pentru valori ridicate ale , cu aproape aliniată cu . Pentru valori mici de , sunt posibile două valori. mh{\ displaystyle m_ {h}}h{\ displaystyle h}φ{\ displaystyle \ varphi}h{\ displaystyle h}H{\ displaystyle H}M{\ displaystyle M}H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}

Când cineva părăsește acest câmp, acest lucru duce la trecerea la singura stare de echilibru și, prin urmare, să sară de la o curbă la alta. În grafic (Figura 2), aceasta echivalează cu trecerea de la minim la maxim, magnetizarea „cade” în ceea ce a fost al doilea minim și a devenit singurul minim. În timpul unei creșteri sau scăderi de (care este proporțional cu ), cifra nu este deci aceeași: vorbim despre un ciclu de histerezis. Să luăm ca exemplu graficul opus pornind de la , realizând o creștere până , apoi o coborâre. Pe grafic, începem de jos în stânga, ne deplasăm orizontal spre dreapta: câmpul crește, dar direcția magnetizării variază cu greu ( , ). Apoi ne apropiem de punctul de inflexiune în cazul în care , și . Dublu derivat merge negativ, nu mai sunt pe un minim de energie: vom sari de pe curba albastră , și . Apoi câmpul crește, fără variație de . Același fenomen se repetă în coborârea la nivelul de inflexiune a curbei albastre. η(φ){\ displaystyle \ eta (\ varphi)}H{\ displaystyle H}h{\ displaystyle h}h=-2{\ displaystyle h = -2}h=2{\ displaystyle h = 2}mh≈-1{\ displaystyle m_ {h} \ approx -1}φ≈0{\ displaystyle \ varphi \ approx 0}h=0,6{\ displaystyle h = 0 {,} 6}mh=-0,64{\ displaystyle m_ {h} = - 0 {,} 64}φ=47∘{\ displaystyle \ varphi = 47 ^ {\ circ}}h=0,6{\ displaystyle h = 0 {,} 6}mh=0,98{\ displaystyle m_ {h} = 0 {,} 98}φ=180∘{\ displaystyle \ varphi = 180 ^ {\ circ}}φ{\ displaystyle \ varphi}

Forma ciclului de histerezis

În cele din urmă, ciclul de histerezis nu este același în funcție de orientarea câmpului față de axa magnetizării ușoare. Cu cât este mai aproape de 0 °, cu atât ciclul este mai dreptunghiular și câmpul necesar pentru inversarea magnetizării este mai mare. Cu cât este mai aproape de 90 °, cu atât este mai ușor să schimbați magnetizarea cu câmpul magnetic treptat. Curba din domeniul câmpului slab este aproape liniară și trece aproape de 0. H{\ displaystyle H}θ{\ displaystyle \ theta}θ{\ displaystyle \ theta}

Forma buclei de histerezis este puternic dependentă de unghiul dintre câmpul magnetic și axa magnetizării ușoare. Dacă cele două sunt paralele ( ), bucla de histerezis este cea mai mare (cu în unități normale). Magnetizarea începe paralel cu câmpul și nu se rotește până când devine instabilă și rotește în direcția opusă. În general, cu cât unghiul este mai aproape de 90 °, cu atât rotația devine mai reversibilă. În celălalt punct extrem, la , cu câmpul perpendicular pe axa magnetizării ușoare, nu există salt. Pentru un câmp alternativ, magnetizarea se rotește continuu dintr-o direcție în cealaltă. θ=0∘{\ displaystyle \ theta = 0 ^ {\ circ}}mh=hs=1{\ displaystyle m_ {h} = h_ {s} = 1}θ=90∘{\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}}

Pentru un unghi dat , câmpul de comutare este punctul în care soluția trece de la un minim de energie ( ) la un maxim ( ). Astfel, poate fi calculat prin rezolvarea ecuației 3 cu . Soluția este θ{\ displaystyle \ theta}∂2η/∂φ2>0{\ displaystyle \ partial ^ {2} \ eta / \ partial \ varphi ^ {2}> 0}∂2η/∂φ2<0{\ displaystyle \ partial ^ {2} \ eta / \ partial \ varphi ^ {2} <0}∂2η/∂φ2=0{\ displaystyle \ partial ^ {2} \ eta / \ partial \ varphi ^ {2} = 0}

hs=1-t2+t41+t2{\ displaystyle h_ {s} = {{\ sqrt {1-t ^ {2} + t ^ {4}}} \ over 1 + t ^ {2}}},

sau

t=bronzat1/3⁡(θ){\ displaystyle t = \ tan ^ {1/3} (\ theta)}.

În unități standardizate . 0,5≤hs≤1{\ displaystyle 0 {,} 5 \ leq h_ {s} \ leq 1}

O modalitate alternativă de a reprezenta câmpul de comutare este împărțirea câmpului vector cu o componentă , care este paralelă cu axa magnetizării ușoare, și o componentă , care este perpendiculară. Asa de h{\ displaystyle h}h∥=hcos⁡(θ){\ displaystyle h _ {\ parallel} = h \ cos (\ theta)}h⊥=hpăcat⁡(θ){\ displaystyle h _ {\ perp} = h \ sin (\ theta)}

h∥2/3+h⊥2/3=1{\ displaystyle h _ {\ parallel} ^ {2/3} + h _ {\ perp} ^ {2/3} = 1}.

Dacă componentele sunt desenate în opoziție, rezultatul este un astroid Stoner-Wohlfarth. O buclă de histerezis magnetică poate fi calculată prin aplicarea unei construcții geometrice acestui astroid.

Predicții pentru sisteme izotrope și omogene

Histerezis

Stoner și Wohlfarth au calculat ciclul principal de histerezis pentru un sistem izotrop , format din particule identice și orientate aleatoriu. Rezultatul acestui calcul este prezentat în Figura 5.

Căci are loc o schimbare reversibilă (săgeată dublă): magnetizarea sistemului variază pe una dintre ramurile ciclului, în funcție de valoarea sa inițială, și revine în același punct atunci când este oprit să fie supus câmpului magnetic. |h|<0,5{\ textstyle | h | <0 {,} 5}

Căci schimbarea este ireversibilă (o singură săgeată): magnetizarea se inversează și trece pe cealaltă ramură a ciclului, este imposibil ca aceasta să revină la poziția sa inițială fără un câmp magnetic extern. |h|>0,5{\ textstyle | h |> 0 {,} 5}

Două valori importante sunt prezentate în figură:

• Normalizat saturație remanenta ,, corespunde magnetizarea rezidual al probei , atunci când câmpul magnetic aplicat este îndepărtat.mrs{\ displaystyle m_ {rs}}
• Coercivitatea corespunde câmpului magnetic pentru care magnetizarea probei este zero.hvs.{\ displaystyle h_ {c}}

Curba roșie care începe la origine este prima curbă de magnetizare. Acesta ilustrează comportamentul unei probe demagnetizate în timpul aplicării unui câmp magnetic.

Se consideră că, atunci când proba este demagnetizată, se lasă la fiecare moment magnetic o probabilitate egală de a se orienta într-o direcție sau alta a axei magnetizării ușoare. Prin urmare, sistemul devine o medie între ramurile superioare și inferioare ale ciclului: fără un câmp h extern, nu este magnetizat. Când este magnetizat, urmează o curbă corespunzătoare mediei ramurilor superioare și inferioare ale ciclului: o jumătate a particulelor urmează ramura superioară, în timp ce cealaltă urmează ramura inferioară. Este posibil să se obțină aceeași curbă pentru magnetizarea opusă.

Bariera potențială și relația cu câmpul aplicat

O barieră potențială este definită ca energia care separă două minime.

Presupunând că este așa că ne aflăm într-un minim de energie, putem scrie bariera energetică în forma în care va depinde de unghiul dintre câmpul aplicat și axa anizotropiei. φ{\ textstyle \ varphi}ΔE=(1-|h|)β{\ textstyle \ Delta E = (1- | h |) ^ {\ beta}}β{\ textstyle \ beta}θ{\ textstyle \ theta}

În figura 7 putem vedea variația în funcție de unghi , care este analogă cu variația barierei energetice. β{\ textstyle \ beta}θ{\ textstyle \ theta}

Noi trebuie să ia în considerare faptul că , în consecință . Acest lucru ne face să spunem că o creștere a acestora duce la o scădere a barierei potențiale. 0<|h|<1{\ displaystyle 0 <| h | <1}0<1-|h|<1{\ textstyle 0 <1- | h | <1}β{\ textstyle \ beta}

Ciclul de histerezis mediu

Fluctuațiile termice pot induce orientări aleatorii într-o particulă Stoner. Dacă această variație este suficient de rapidă în ceea ce privește timpul de măsurare al unui ciclu de histerezis, se observă un ciclu mediu.

O metodă pentru a calcula acest ciclu este de a considera că o particulă Stoner are mai multe orientări care fac unghiuri diferite cu câmpul aplicat. Redefinim sistemul în 3D cu unghiurile prezentate în figura 8.

Lăsați  funcția de densitate de probabilitate să fie de așa natură încât este uniform și . Media ciclului, adică media proiecției magnetizării de-a lungul direcției câmpului, este: p(α,ϕ){\ textstyle p (\ alpha, \ phi)}[0,π]{\ textstyle [0, \ pi]}[0,2π]{\ textstyle [0,2 \ pi]}

mp¯=∬cos⁡(θ+α)p(α,ϕ)păcat⁡(α)dαdϕ∬p(α,ϕ)păcat⁡(α)dαdϕ{\ displaystyle {\ overline {m_ {p}}} = {\ iint \ cos \ left (\ theta + \ alpha \ right) p \ left (\ alpha, \ phi \ right) \ sin \ left (\ alpha \ dreapta) \ operatorname {d} \! \ alpha \ operatorname {d} \! \ phi \ over \ iint p \ left (\ alpha, \ phi \ right) \ sin \ left (\ alpha \ right) \ operatorname {d } \! \ alpha \ operatorname {d} \! \ phi}}

Prin urmare, funcțiile de probabilitate sunt independente . În plus, le definim uniforme, deci găsim: p(α,ϕ)=p(α)p(ϕ){\ textstyle p (\ alpha, \ phi) = p (\ alpha) p (\ phi)}

mp¯=∫0π2cos⁡(θ+α)păcat⁡(α)dα{\ displaystyle {\ overline {m_ {p}}} = \ int _ {0} ^ {\ pi \ over 2} \ cos \ left (\ theta + \ alpha \ right) \ sin \ left (\ alpha \ right ) \ operatorname {d} \! \ alpha}

Deci, prin scanare , găsim unghiul care minimizează energia sistemului. α{\ textstyle \ alpha}θ{\ displaystyle \ theta}

Apoi rescriem:

∂E∂θ=păcat⁡(θ)cos⁡(θ)+hpăcat⁡(θ+α)=0{\ displaystyle {\ partial E \ over \ partial \ theta} = \ sin \ left (\ theta \ right) \ cos \ left (\ theta \ right) + h \ sin \ left (\ theta + \ alpha \ right) = 0}

Cu egalitate găsim: m=cos⁡(θ+α){\ textstyle m = \ cos (\ theta + \ alpha)}

h=-mcos⁡(2α)±2m2-121-m2păcat⁡(2α){\ displaystyle h = -m \ cos \ left (2 \ alpha \ right) \ pm {{2m ^ {2} -1} \ over 2 {\ sqrt {1-m ^ {2}}}} \ sin \ stânga (2 \ alfa \ dreapta)}

Căutând valori ale  , găsim valorile cărora satisfac ecuația . Aceste valori corespund bine minimelor de energie ale sistemului. Prin urmare, putem desena ciclul de histerezis 3D prezent în figura 9. m{\ textstyle m}h{\ displaystyle h}cos⁡(2α)+hcos⁡(θ+α)≥0{\ textstyle \ cos \ left (2 \ alpha \ right) + h \ cos \ left (\ theta + \ alpha \ right) \ geq 0}

Limitările modelului

Modelul Stoner-Wohlfarth este o abordare „macro-spin” a sistemelor magnetice: adică considerăm că magnetizarea unui bob de monodominiu este de fapt un singur moment magnetic gigant, suma tuturor momentelor magnetice purtate de bob . Această abordare este utilizată datorită complexității unei descrieri microscopice. Materialele magnetice, în general, au o structură multi-domeniu, dar modelul se aplică bine materialelor cu un singur domeniu, cum ar fi nanoparticulele sau materialele compuse din cereale mici izolate electric de vecinii lor, astfel încât să le decupeze magnetic.

Extensii model

Există mai multe metode pentru a completa acest model:

• Fluctuații termice  : este necesar să se ia în considerare variațiile termice care cauzează salturi de la o stare stabilă la alta peste o barieră energetică.

• Interacțiuni între particule  : prin adăugarea de interacțiuni dipolare între particule la modelul Stoner-Wohlfarth sau prin luarea în considerare a cuplajului de schimb între magneți.

Fluctuații termice

În timp ce modelul Stoner-Wohlfarth neglijează influența temperaturii și, prin urmare, a fenomenului de relaxare , în lucrarea lui Néel , aceste efecte sunt evidențiate.

Modelul extins include posibilitățile de activare termică și fluctuații în momentul magnetic al unei particule. Acesta a fost realizat în conformitate cu ecuația lui Néel pentru rata de relaxare dintre minimele energiei locale separate printr-o barieră energetică  : U0{\ textstyle U_ {0}}

P=p0exp⁡(-U0kBT){\ displaystyle P = p_ {0} \ exp \ left (- {U_ {0} \ over k_ {B} T} \ right)},

unde este rata de fluctuație, care este ușor dependentă de temperatură și este determinată de proprietățile de bază ale particulei în cauză. De exemplu, poate fi definit ca media statistică a forțelor aleatorii care fluctuează rapid și exprimat în termeni de „câmp aleatoriu”. p0{\ textstyle p_ {0}}T{\ textstyle T}

Contrar dificultăților întâmpinate la prelucrarea datelor experimentale cu modele bazate pe ecuația Laudau-Lifshitz-Gilbert, modelul Stoner-Wolfarth extins se menține la datele experimentale și face posibilă estimarea caracteristicilor fizice ale probelor care conțin nanoparticule. Modelele Stoner-Wohlfarth și modelul extins Stoner-Wohlfarth prezic comportamentul magnetic al unui sistem ideal de particule și, prin urmare, este acceptat în mod obișnuit ca reper.

Se presupune că, cu un câmp magnetic în schimbare, momentul magnetic al unei particule (aflat într-un minim de energie) urmează poziția minimului local de energie. Cu toate acestea, momentul magnetic poate, de asemenea, să-și schimbe instantaneu direcția printr-un salt deasupra barierei energetice care separă două minime.

Se presupune că, în funcție de puterea câmpului magnetic la fiecare moment, procesul de relaxare este definit de doi parametri:   și . peuj{\ textstyle p_ {ij}}Ueuj{\ textstyle U_ {ij}}

p12(θ,H,T)=p02∑eu=1,2exp⁡(-U1eu(θ,H)kBT){\ displaystyle p_ {12} (\ theta, H, T) = {p_ {0} \ over 2} \ sum _ {i = 1,2} \ exp \ left (- {U_ {1i} (\ theta, H) \ peste k_ {B} T} \ dreapta)}

p12(θ,H,T)=p02∑eu=1,2exp⁡(-U2eu(θ,H)kBT){\ displaystyle p_ {12} (\ theta, H, T) = {p_ {0} \ over 2} \ sum _ {i = 1,2} \ exp \ left (- {U_ {2i} (\ theta, H) \ peste k_ {B} T} \ dreapta)}

Ueuj(θ,H)=Ej(mlaX)(θ,H)-Eeu(meunu)(θ,H){\ displaystyle U_ {ij} (\ theta, H) = E_ {j} ^ {(max)} (\ theta, H) -E_ {i} ^ {(min)} (\ theta, H)}

Aici și dați sens probabilităților tranzițiilor între stările de echilibru local (a se vedea diagrama). Pentru fiecare grup de particule cu orientări diferite, valorile și pot fi estimate prin intermediul unor calcule numerice. p12{\ textstyle p_ {12}}p21{\ textstyle p_ {21}}Ej(mlaX){\ textstyle E_ {j} ^ {(max)}}Eeu(meunu){\ textstyle E_ {i} ^ {(min)}}

În câmpurile magnetice în care , fiecare particulă poate rămâne doar în două stări corespunzătoare minimelor energetice locale între care pot avea loc tranziții de relaxare. Apoi, populațiile de echilibru relativ ale stărilor sunt definite de principiile detaliate de echilibrare: |h|<Hvs.{\ textstyle | h | <H_ {c}}

ωeu(0)(θ,H,T)=exp⁡(-Eeu(meunu)(θ,H)kBT)exp⁡(-E1(meunu)(θ,H)kBT)+exp⁡(-E2(meunu)(θ,H)kBT){\ displaystyle \ omega _ {i} ^ {(0)} (\ theta, H, T) = {\ exp \ left (- {E_ {i} ^ {(min)} (\ theta, H) \ over k_ {B} T} \ right) \ over \ exp \ left (- {E_ {1} ^ {(min)} (\ theta, H) \ over k_ {B} T} \ right) + \ exp \ left (- {E_ {2} ^ {(min)} (\ theta, H) \ peste k_ {B} T} \ dreapta)}}

Proiecția magnetizării de echilibru a particulei pe direcția câmpului magnetic este determinată de următoarea expresie:

m(0)(θ,H,T)=ω1(0)(θ,H,T)m1(θ,H)+ω2(0)(θ,H,T)m2(θ,H){\ displaystyle m ^ {(0)} (\ theta, H, T) = \ omega _ {1} ^ {(0)} (\ theta, H, T) m_ {1} (\ theta, H) + \ omega _ {2} ^ {(0)} (\ theta, H, T) m_ {2} (\ theta, H)},

unde sunt proiecțiile momentului magnetic normalizat ale particulelor în direcția câmpului magnetic corespunzător minimelor energetice locale. meu=Meu(θ,H)/M0{\ textstyle m_ {i} = M_ {i} (\ theta, H) / M_ {0}}

Derivăm relația de relaxare a magnetizării care se aplică populațiilor nivelurilor de energie ale modelului Stoner-Wohlfarth și . ω1{\ textstyle \ omega _ {1}}ω2{\ textstyle \ omega _ {2}}

dω1,2(t)dt=±(p21(t)ω2(t)-p12(t)ω1(t)){\ displaystyle {\ operatorname {d} \! \ omega _ {1,2} (t) \ over \ operatorname {d} \! t} = \ pm \ left (p_ {21} (t) \ omega _ { 2} (t) -p_ {12} (t) \ omega _ {1} (t) \ right)}

Știind asta , ω1(t)+ω2(t)=1{\ textstyle \ omega _ {1} (t) + \ omega _ {2} (t) = 1}

dω~(t)dt=-p(t)(ω~(t)-ω~(0)(t)){\ displaystyle {\ operatorname {d} \! {\ tilde {\ omega}} (t) \ over \ operatorname {d} \! t} = - p (t) \ left ({\ tilde {\ omega}} (t) - {\ tilde {\ omega}} ^ {(0)} (t) \ right)}

Cu diferența de populație

ω~(t)=ω1(t)-ω2(t){\ displaystyle {\ tilde {\ omega}} (t) = \ omega _ {1} (t) - \ omega _ {2} (t)}

și

p(t)=p12(t)+p21(t){\ displaystyle p (t) = p_ {12} (t) + p_ {21} (t)},

ω~(0)(t)=ω1(0)(t)-ω2(0)(t){\ displaystyle {\ tilde {\ omega}} ^ {(0)} (t) = \ omega _ {1} ^ {(0)} (t) - \ omega _ {2} ^ {(0)} ( t)}.

Ecuația diferențială este modelul Stoner-Wohlfarth extins. Rezolvând această ecuație diferențială cu condițiile inițiale, un număr de fenomene de magnetizare observate experimental în funcție de temperatură, timp și câmpuri magnetice externe pot fi înțelese și descrise cantitativ.

Aplicații model

Proprietățile magnetice teoretizate de Stoner și Wohlfarth au permis dezvoltarea tehnologiilor folosind histerezisul magnetic al anumitor materiale. Ca de exemplu unitatea de disc . Acest model este, de asemenea, utilizat pe scară largă pentru a descrie proprietățile nanoparticulelor magnetice și, prin urmare, ale ferofluidelor .

Note și referințe

1. (en) EC Stoner și EP Wohlfarth , „  Un mecanism de histereză magnetică în aliaje eterogene  ” , Philosophical Transactions of the Royal Society A: Physical, Mathematical and Engineering Sciences , vol.  240, nr .  826,1948, p.  599–642 ( DOI  10.1098 / rsta.1948.0007 , Bibcode  1948RSPTA.240..599S )
2. (ro) C. Tannous și J. Gieraltowski , „  The Stoner - Wohlfarth model of ferromagnetism  ” , European Journal of Physics , vol.  29, n o  3,1 st ianuarie 2008, p.  475 ( ISSN  0143-0807 , DOI  10.1088 / 0143-0807 / 29/3/008 , citit online , accesat la 17 aprilie 2017 )
3. (en-GB) Institutul de Fizică , „  Profesorul Erich Peter Wohlfarth și seria de prelegeri Wohlfarth  ” , la www.iop.org (accesat la 18 aprilie 2017 )
4. (în) Isaak D. Mayergoyz , Modele matematice de histerezis și aplicațiile lor: ediția a doua , Amsterdam / Boston, Academic Press ,2003, A doua  ed. , 472  p. ( ISBN  978-0-12-480873-7 )
5. (în) MA Chuev și J. Hesse , „  Nanomagnetism: extension of the Stoner-Wohlfarth model Within Neel’s ideas and Useful studs  ” , Journal of Physics: Condensed Matter , vol.  19, n o  50,1 st ianuarie 2007, p.  506201 ( ISSN  0953-8984 , DOI  10.1088 / 0953-8984 / 19/50/506201 , citit online , accesat la 17 aprilie 2017 )

linkuri externe

• Aplicația de inversare a magnetizării Stoner-Wohlfarth

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">