Pur și simplu măsură aditivă

În teoria măsurătorilor , o măsură pur și simplu aditivă este o versiune slabă a unei măsuri: în loc să fie sigma-aditivă ca măsura clasică , este aditivă numai pentru unirea unui număr finit de seturi disjuncte. Acesta corespunde mai mult ideii intuitive pe care o avem despre noțiunea de măsurare a distanței parcurse, a zonei de măsurare, a măsurării volumului sau a măsurării greutății.

În teoria integrării , noțiunea de măsură pur și simplu aditivă conduce la noțiunea de integrală Riemann , în timp ce noțiunea de măsură sigma-aditivă conduce la noțiunea de integrală Lebesgue .

Definiție

Dacă E este un set și un clan de E , adică un set nevid de părți E stabilă prin unire finită și prin complementaritate, o numim măsură pur și simplu aditiv pe orice hartă f de la astfel încât, pentru toate părțile A și B disjuncte și aparținând la : $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $[0, + \ infty]$ ${\ mathcal C}$ $f (A \ cup B) = f (A) + f (B)$

De exemplu, în , putem defini o măsură pur și simplu aditivă pe mulțimea formată de uniuni de intervale finite prin setarea: $L$ $(I) =$ $b - a$ , unde a și b sunt limitele inferioare și superioare ale lui I. Această măsură se numește lungimea intervalului I. Definim lungimea unei uniuni de intervale disjuncte ca suma lungimilor fiecărui interval. $\ mathbb {R}$

În același mod, putem defini, într-un plan prevăzut cu un sistem de coordonate ortonormale, o măsurare a suprafeței pe setul de dreptunghiuri ale căror laturi sunt paralele cu axele, uniunile lor finite și complementele lor prin setarea aria (dreptunghiul laturilor x și y ) = x × y .

Dacă U este o mulțime finită, o probabilitate p pe U este o măsură pur și simplu aditivă a mulțimii părților lui U cu valori în [0,1] satisfăcând p ( U ) = 1

Pur și simplu măsurare aditivă și calcul de suprafață

Din măsurătorile de suprafață uniunile finite de dreptunghiuri, putem defini măsurarea așa-numitelor quarrable suprafețe

Pentru o suprafață dată, S, observăm mulțimea uniunilor finite ale dreptunghiurilor conținute în S, C int și mulțimea uniunilor finite ale dreptunghiurilor care conțin S, C ext . Dacă , se spune că suprafața S este căzută și aria sa este egală cu această valoare comună. $\ sup _ {{A \ in C _ {{int}}}} {\ mathrm {ary}} (A) = \ inf _ {{A \ in C _ {{ext}}}} {\ mathrm {ary }} (AT)$

Pur și simplu măsură Riemann aditivă și integrală

Din măsurarea lungimii intervalului, este posibil să se definească o măsurare pe setul de funcții în trepte (sau funcție simplă în trepte ). O funcție de scară este o combinație liniară de funcții de interval caracteristice .

$f (x) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} a_ {k} \ chi _ {{I_ {k}}} (x)$

Integrala lui f este atunci combinația liniară corespunzătoare a lungimilor intervalului $\ int f = \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} a_ {k} L (I_ {k})$ .

Extindem apoi această noțiune la setul așa-numitelor funcții integrabile în sens Riemann. Pentru o funcție dată f , considerăm setul F inf al funcțiilor scării crescut cu f și setul F sup al funcțiilor scării redus cu f . Dacă , funcția f se spune că este integrabilă și integrala sa este egală cu această valoare comună. $\ sup _ {{g \ in F _ {{inf}}}} \ int g = \ inf _ {{g \ in F _ {{sup}}}} \ int g$

Bibliografie

André Revuz , „Integrare și măsurare” , în Encyclopædia Universalis , vol. 12,Iunie 1990, p. 406-408