Măsurare finalizată

Pe un spațiu măsurabil , o măsură finită (sau măsură mărginită ) este o măsură pozitivă μ pentru care μ ( X ) este finită, sau mai general o măsură semnată , sau chiar o măsură complexă (în) a cărei masă (valoarea pe X a variația totală | μ | a μ) este finită. $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle | \ mu | (X)}$

Funcții integrate

Orice funcție complexă măsurabilă și mărginită f este integrabilă față de orice măsură finită ; și avem creșterea: $\ mu$

{\ displaystyle \ left | \ int _ {X} fd \ mu \ right | \ leq \ | f \ | _ {\ infty}. | \ mu | (X)}

Exemple de măsurători terminate

Măsura numărul de pe un set X este finită IFF X este un set finit .
Cele masele Dirac sunt măsuri finite, indiferent de spațiul măsurabil luate în considerare.
Mai general, măsurile de probabilitate sunt exemple de măsuri finite: sunt măsuri pozitive de masă 1.
Lebesgue măsoară peste un domeniu mărginit de ℝ n .
Pentru o măsură complexă $ν$ nu neapărat finită și pentru o funcție $ν$ -integrabilă $f$ , variația totală a măsurii $f ν$ este exact $| f | | ν |$ ; de fapt, măsura $f ν$ este finită.

Scăderea secvenței de spații $L p$

Conform inegalității lui Hölder sau Jensen , spațiile $L p$ ale unei măsuri finite formează o familie descrescătoare pentru incluziune, cu injecții continue . Mai precis :

{\ displaystyle {\ text {si}} \ mu (X) <+ \ infty {\ text {apoi}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {p} (\ mu) \ supset \ mathrm {L} ^ {q} (\ mu) {\ text {car}} \ forall f \ in \ mathrm {L} ^ {q} (\ mu), \ | f \ | _ { p} \ leq \ mu (X) ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | f \ | _ {q}.}

O conversație foarte puternică este adevărată: dacă $μ$ este σ-finit și dacă există $p$ și $q$ , cu $1 \leq p <q \leq + \infty$ , astfel încât $L p (μ) \supset L q (μ)$ , atunci $μ$ este finit.

Finitul măsoară spațiul

Orice sumă de măsuri finite (semnate sau complexe) este o măsură finită. Orice măsură proporțională cu o măsură finită este o măsură finită.

Spațiul de măsuri finite ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (X, {\ mathcal {A}})}$ (semnate sau complex) formează un spațiu Banach (real sau complex) pentru norma :

{\ displaystyle \ | \ mu \ | = | \ mu | (X).}

Pentru orice măsură $ν$ pe (finită sau nu), harta $f$ $\mapsto$ $f$ $ν$ induce o izometrie a lui $L$ $1$ $(ν)$ pe un subspațiu vector închis al . ${\ displaystyle \ scriptstyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (X, {\ mathcal {A}})}$

Când $ν$ este σ-finit , acest subspațiu cu care se identifică $L 1 (ν)$ este egal (conform teoremei Radon-Nikodym ) cu mulțimea tuturor măsurilor finite absolut continue față de $ν$ . Este inclus în dualul topologic al lui $L \infty (ν)$ :

{\ displaystyle \ mathrm {L} ^ {1} (\ nu) \ subset \ mathrm {(} L ^ {\ infty} (\ nu)) '.}

Această incluziune este strictă (cu excepția cazurilor banale) deoarece $(L \infty (ν)) '$ este alcătuită din „măsuri” (finite și absolut continue față de $ν$ ) care sunt doar finit aditive .

Exemplu: includerea strictă a

ℓ 1

= în

(ℓ

\infty

) '

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (\ mathbb {N})}

Dacă $ν$ este măsura de numărare pe ℕ, atunci $ν$ este σ-finită și continuitatea absolută față de $ν$ este automată, prin urmare $L 1 (ν)$ (care este scris aici $ℓ 1$ ) este identificat cu orice număr întreg. Includerea $ℓ$ $1$ în dualul $ℓ$ $\infty$ rezultate din: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (\ mathbb {N})}$

{\ displaystyle \ forall a \ in \ ell ^ {1}, \ forall b \ in \ ell ^ {\ infty}, ~ \ langle a, b \ rangle = \ sum a_ {n} b_ {n}.}

Dar există forme liniare continue, pe spațiul $ℓ \infty$ al secvențelor delimitate, care nu provin în acest fel dintr-un element $a$ din $ℓ 1$ : de exemplu, pe subspaiul secvențelor convergente (en) , avem o formă liniară continuă care cu orice secvență convergentă își asociază limita. Putem, prin teorema lui Hahn-Banach , extinde această formă pe acest subspațiu într-o formă continuă pe $ℓ \infty,$ prin urmare într-o „măsură finită” care este doar aditiv finit pe ℕ, deși, deși nu este zero, se anulează pe fiecare singleton .

Evaluare și referință