Legea gamma

Legea gamma
Probabilitate densitate


Funcția de distribuție

Setări	$k> 0 \,$ real real $\ theta> 0 \,$
A sustine	$x \ in [0, + \ infty [$
Probabilitate densitate	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {k-1} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x} {\ theta}}}} {\ Gamma (k) \ theta ^ {k}}}}$
Funcția de distribuție	${\ frac {\ gamma (k, x / \ theta)} {\ Gamma (k)}}$
Speranţă	$k \ theta \,$
Median	nici o expresie formală
Modă	$(k-1) \ theta \,$ pentru $k \ geq 1 \,$
Varianța	$k \ theta ^ {2} \,$
Asimetrie	${\ frac {2} {{\ sqrt {k}}}}$
Curtoză normalizată	${\ frac {6} {k}}$
Entropie	$k \ theta + (1-k) \ ln (\ theta) + \ ln (\ Gamma (k)) \,$ $+ (1-k) \ psi (k) \,$
Funcție generatoare de momente	$(1- \ theta \, t) ^ {{- k}}$ pentru $t <1 / \ theta$
Funcția caracteristică	${\ displaystyle \ left (1-i \ theta t \ right) ^ {- k} \,}$

În teoria probabilităților și statistica , o distribuție gamma sau gamma de distribuție este un tip de distribuție de probabilitate a variabilelor aleatoare reale pozitive . Familia distribuțiilor Gamma include, printre altele, legea χ² și distribuțiile exponențiale . O distribuție Gamma este caracterizată de doi parametri care afectează, respectiv, forma și scara reprezentării sale grafice . Distribuțiile gamma sunt utilizate pentru a modela o mare varietate de fenomene, și mai ales fenomene care apar în timp, în care, în esență, timpul scurs este o cantitate reală pozitivă; acesta este cazul, de exemplu, în analiza supraviețuirii .

Definiție și proprietăți

Definiție

O variabilă aleatorie $X$ urmează o lege Gamma a parametrilor $k$ și $θ$ (strict pozitivi), pe care o notăm și (unde $Γ$ este litera mare a literei grecești gamma ) dacă funcția sa de densitate a probabilității poate fi sub forma: $X \, \ sim \ Gamma (k, \ theta)$

${\ displaystyle f (x; k, \ theta) = {\ frac {x ^ {k-1} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x} {\ theta}}}} {\ Gamma (k ) \ theta ^ {k}}}}$ ,

unde $x > 0$ și $Γ$ denotă funcția Gamma a lui Euler .

Alternativ, distribuția Gamma poate fi parametrizată folosind un parametru de formă $α = k$ și un parametru de intensitate : $\ beta = 1 / \ theta$

${\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = x ^ {\ alpha -1} {\ frac {\ beta ^ {\ alpha} \, \ mathrm {e} ^ {- \ beta \, x}} {\ Gamma (\ alpha)}} \ \ mathrm {for} \ x> 0}$ .

Ambele setări sunt la fel de populare, în funcție de context.

Sumă

Dacă fiecare $X i$ respectă legea $Γ ( k i , θ)$ pentru i = 1, 2, ..., N și dacă variabilele aleatoare $X i$ sunt independente , atunci:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ sim \ Gamma \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i}, \ theta \ right)}$ .

Schimbarea scalei

Pentru toate $t > 0$ , variabila $tX$ este distribuită în funcție de

Γ ( k , t θ) unde θ este parametrul scalei

Γ ( α , β / t ) unde β este parametrul de intensitate ( parametrul ratei ).

Legătură cu alte distribuții

Constrângeri asupra parametrilor

Dacă , atunci $X$ are o distribuție exponențială cu parametrul $λ$ . $X \ sim {\ Gamma} (k = 1, \ theta = 1 / \ lambda) \,$
Dacă , atunci $X$ este identic cu o variabilă $χ$ $2$ $($ $ν$ $)$ , distribuția legii lui χ² cu $ν$ grade de libertate. $X \ sim {\ Gamma} (k = \ nu / 2, \ theta = 2) \,$
Dacă $k$ este un număr întreg, legea Gamma este o distribuție Erlang .
Dacă , atunci $X$ are o distribuție a lui Maxwell-Boltzmann cu parametrul $are$ . $X ^ {2} \ sim {\ Gamma} (3 / 2,2a ^ {2}) \,$

Alte manipulări

Dacă X are o distribuție Γ ( k , θ), atunci 1 / X are o distribuție inversă a legii Gamma , cu parametrii k și $θ -1$ .
Dacă X și Y sunt distribuite independent conform legilor Γ (α, θ) și respectiv Γ (β, θ), atunci X / ( X + Y ) are o distribuție beta a parametrilor α și β.
Dacă X i sunt distribuiți conform legilor Γ (α i , θ) respectiv, atunci urmează vectorul ( X 1 / S , ..., X n / S ), unde S = X 1 + ... + X n , urmează o distribuție Dirichlet a parametrilor α 1 , ..., α n .
Pentru k mari, distribuția Gamma converge la o distribuție normală a mediei și a varianței . Mai mult, oricare ar fi k și θ, prin fixarea constantelor și în acest mod , densitățile de probabilitate ale distribuției Gamma Γ ( k , θ) și ale distribuției normale au apoi două puncte de inflexiune pe aceeași abscisă, la știință și . $\ mu = (k-1) \ theta$ $\ sigma ^ {2} = (k-1) \ theta ^ {2}$ $\ mu$ $\ sigma$ ${\ displaystyle N (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ mu + \ sigma = \ theta (k-1) + \ theta {\ sqrt {k-1}}}$ ${\ displaystyle \ mu - \ sigma = \ theta (k-1) - \ theta {\ sqrt {k-1}}}$

Proprietatea de concentrare

Dacă , atunci pentru tot , și . ${\ displaystyle X \ sim \ chi ^ {2} (k)}$ $t> 0$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X \ geq k + 2 {\ sqrt {kt}} + 2t \ right) \ leq e ^ {- t}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X \ leq k-2 {\ sqrt {kt}} \ right) \ leq e ^ {- t}}$

Referințe

(în) Verzelen, Nicolas și GASSIAT, Elizabeth, „ Estimare adaptivă a raporturilor semnal-zgomot de înaltă dimensiune ” , arXiv ,16 martie 2017, p. 41 ( citește online )