Legea χ necentrată

Legea necentrată χ{\ displaystyle \ chi}
Setări	k∈{1,2,...}{\ displaystyle k \ in \ {1,2, \ dots \} \,}( grade de libertate ) λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0 \,}
A sustine	X∈[0;+∞[{\ displaystyle x \ in [0; + \ infty [\,}
Probabilitate densitate	e-(X2+λ2)/2Xkλ(λX)k/2Euk/2-1(λX){\ displaystyle {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}
Speranţă	π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ left ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} { 2}} \ dreapta) \,}
Varianța	k+λ2-μ2{\ displaystyle k + \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} \,}

În teoria probabilității și statistică , legea necentratăχ{\ displaystyle \ chi} este o generalizare a legii lui χ . Dacă , sunt k variabile aleatoare independente de legea normală a mediilor și de deviația standard respectivă și apoi Xeu,eu=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle X_ {i}, \, i = 1, \ dots, k} μeu,eu=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ mu _ {i}, \, i = 1, \ dots, k}σeu,eu=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma _ {i}, i = 1, \ dots, k}

X=∑1k(Xeuσeu)2{\ displaystyle X = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}}}

este o variabilă aleatorie necentrată. Această lege are doi parametri: un număr întreg care specifică numărul de grade de libertate (adică numărul de variabile ) și o reală relativă la media variabilelor prin formula: χ{\ displaystyle \ chi}k{\ displaystyle k}Xeu{\ displaystyle X_ {i}}λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}Xeu{\ displaystyle X_ {i}}

λ=∑1k(μeuσeu)2{\ displaystyle \ lambda = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ left ({\ frac {\ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2} }}}

Vom spune că X urmează o lege a lui χ care nu este centrată cu k grade de libertate și parametrul λ, vom notaX∼NUVSχk(λ){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (\ lambda)}

Proprietăți

Densitatea de probabilitate este dată de:

f(X;k,λ)=e-(X2+λ2)/2Xkλ(λX)k/2Euk/2-1(λX){\ displaystyle f (x; k, \ lambda) = {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}

unde este funcția Bessel modificată de primul fel. Euν(z){\ displaystyle I _ {\ nu} (z)}

Primele momente sunt:

μ1′=π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ left ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} {2}} \ right)} μ2′=k+λ2{\ displaystyle \ mu '_ {2} = k + \ lambda ^ {2}} μ3′=3π2L3/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {3} = 3 {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {3/2} ^ {(k / 2-1)} \ left ({\ frac { - \ lambda ^ {2}} {2}} \ right)} μ4′=(k+λ2)2+2(k+2λ2){\ displaystyle \ mu '_ {4} = (k + \ lambda ^ {2}) ^ {2} +2 (k + 2 \ lambda ^ {2})}

unde este polinomul Laguerre generalizat . Rețineți că al doilea moment este același cu al n -lea moment al legii non² necentrate în care parametrul este înlocuit cu . Lnu(la)(z){\ displaystyle L_ {n} ^ {(a)} (z)}λ{\ displaystyle \ lambda}λ2{\ displaystyle \ lambda ^ {2}}

Link-uri către alte legi

• Dacă este o variabilă aleatorie law² -lege necentrată , atunci variabila aleatoare este o variabilă aleatorie law-lege necentrată.X{\ displaystyle X}X2{\ displaystyle X ^ {2}}
• În cazul în care este legea lui χ , atunci este legea nu centrată χ: . Cu alte cuvinte, legea lui χ este un caz special al legii lui χ care nu este centrat cu parametrul .X{\ displaystyle X}X∼χk{\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k}}X{\ displaystyle X}X∼NUVSχk(0){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (0)}λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}
• Legea lui χ care nu este centrată cu două grade de libertate este similară cu legea Rice cu .σ=1{\ displaystyle \ sigma = 1}
• Dacă X urmează o lege necentrată a lui χ cu un grad de libertate și parametrul λ, atunci σ X urmează o lege normală pliată cu parametrii σλ și σ 2 pentru orice valoare de σ.

Diferite legi ale șiχ{\ displaystyle \ chi}χ2{\ displaystyle \ chi ^ {2}}

Legile	în funcție de variabilele normale de distribuție
legea χ²	∑eu=1k(Xeu-μeuσeu)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2} }
legea χ² necentrată	∑eu=1k(Xeuσeu)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}
legea lui χ	∑eu=1k(Xeu-μeuσeu)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}}}
legea χ necentrată	∑eu=1k(Xeuσeu)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}}}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">