Funcția Bessel modificată

Funcțiile Bessel modificate generează setul de soluții ale ecuației diferențiale

X2d2ydX2+XdydX-(X2+nu2)y=0{\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {{\ text {d}} ^ {2} y} {{\ text {d}} x ^ {2}}} + x {\ frac {{\ text { d}} y} {{\ text {d}} x}} - (x ^ {2} + n ^ {2}) y = 0}.

Funcțiile Bessel modificate de primul tip I n și de al doilea fel K n sunt legate de funcția Bessel de primul tip J n de

Eunu(X)=eu-nuJnu(euX)=∑m=0∞1m!(m+nu)!(X2)2m+nu{\ displaystyle I_ {n} (x) = i ^ {- n} \, J_ {n} (ix) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m! \ , (m + n)!}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {2m + n}}, Knu(X)=π2eunuJ-nu(euX)-eu-nuJnu(euX)păcat⁡(nuπ){\ displaystyle K_ {n} (x) = {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {i ^ {n} J _ {- n} (ix) -i ^ {- n} J_ {n } (ix)} {\ sin (n \ pi)}}}când șinu∉Z{\ displaystyle n \ notin \ mathbb {Z}} Knu(X)=limp→nuπ2eupJ-p(euX)-eu-pJp(euX)păcat⁡(pπ){\ displaystyle K_ {n} (x) = \ lim \ limits _ {p \ to n} {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {i ^ {p} J _ {- p} (ix ) -i ^ {- p} J_ {p} (ix)} {\ sin (p \ pi)}}} cand nu∈Z{\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}

Proprietățile lui K n

Integrale

Knu(z)=2nuΓ(nu+1/2)πznu∫0+∞cos⁡X(z2+X2)nu+1/2dX{\ displaystyle K_ {n} (z) = {\ frac {2 ^ {n} \ Gamma (n + 1/2)} {\ sqrt {\ pi}}} z ^ {n} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ cos x} {(z ^ {2} + x ^ {2}) ^ {n + 1/2}}} \, {\ text {d}} x} Knu(z)=π2nuΓ(nu+1/2)znu∫1+∞(X2-1)nu-1/2exp⁡(-zX)dX{\ displaystyle K_ {n} (z) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 ^ {n} \ Gamma (n + 1/2)}} z ^ {n} \ int _ {1} ^ {+ \ infty} (x ^ {2} -1) ^ {n-1/2} \ exp (-zx) \, {\ text {d}} x} (pentru n> -1/2)

Vezi și tu

• Funcția Bessel
• Funcția sferică Bessel

Bibliografie

1. (în) „  Modified Bessel Differential Equation  ” pe MathWorld
2. (în) „  Funcția Bessel modificată de primul fel  ” pe MathWorld
3. (în) „  Funcția Bessel modificată de al doilea fel  ” pe MathWorld

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">