Legea lui Malus

Legea Malus este o lege perspectivă asupra cantității de intensitatea luminii transmise printr - un polarizator perfectă.

Istorie

Omonim al legii Malus este Étienne-Louis Malus (1775-1812) care l-a descoperit în 1809.

Principiu

Să presupunem că o undă plană polarizată rectiliniu trece printr-un polarizator. Notăm cu θ unghiul pe care îl face această polarizare cu axa polarizatorului. Unda de ieșire este atât de polarizată de-a lungul axei polarizatorului, dar este atenuată de un factor: dacă ratingul și curenții de intrare și de ieșire, atunci legea lui Malus este: Eu0{\ displaystyle I_ {0}}Eu{\ displaystyle I}

Eu=Eu0cos2⁡(θ){\ displaystyle I = I_ {0} \ cos ^ {2} {(\ theta)}}.

Această lege are câteva consecințe importante:

• Dacă polarizarea undei incidente este în aceeași direcție ca axa polarizatorului, atunci se transmite toată intensitatea luminii ( ).θ=0{\ displaystyle \ theta = 0}
• Dacă polarizarea undei incidente este ortogonală cu axa polarizatorului, atunci nu există nicio undă de ieșire ( °). În acest caz, spunem că polarizatorul este „încrucișat”.θ=90{\ displaystyle \ theta = 90}
• În cazul în care unda incident nu este polarizat, adică este alcătuită din toate polarizări posibile, apoi prin efectuarea mediei de randamentelor  : jumătate din intensitatea trece. Aceasta este ceea ce observăm atunci când privim o lampă printr-un polarizator.Eu{\ displaystyle I}Eu=Eu0/2{\ displaystyle I = I_ {0} / 2}

Demonstrație

Un polarizor are ca efect proiectarea amplitudinea A 0 undei pe care le primește în jurul axei sale. În cazul unei unde polarizate rectiliniu, această proiecție este proporțională cu cosinusul unghiului θ definit mai sus. Astfel, notând A amplitudinea de ieșire, avem:

LA=LA0cos⁡(θ){\ displaystyle A = A_ {0} \ cos {(\ theta)}}.

Cu toate acestea, intensitatea luminoasă este, prin definiție, proporțională cu pătratul amplitudinii unei unde polarizate rectilinie E:

Eu0=E→.E→=E02{\ displaystyle I_ {0} = {\ overrightarrow {E}}. {\ overrightarrow {E}} = E_ {0} ^ {2}}

Prin pătratul expresiei precedente, obținem apoi:

Eu=Eu0cos2⁡(θ)=LA02vs.os2(θ){\ displaystyle I = I_ {0} \ cos ^ {2} {(\ theta)} = A_ {0} ^ {2} cos ^ {2} (\ theta)}.

În cazul unei unde nepolarizate , formula este dovedită prin găsirea mediei funcției datorită teoremei medii . Pe de altă parte, este suficient, pentru a fi convins de acest lucru, să vedem că poate merge doar de la 0 la 1, deoarece: vs.os2(θ){\ displaystyle cos ^ {2} (\ theta)}vs.os2(θ){\ displaystyle cos ^ {2} (\ theta)}

cos⁡(0∘)=1{\ displaystyle \ cos (0 ^ {\ circ}) = 1}	cos⁡(90∘)=0{\ displaystyle \ cos (90 ^ {\ circ}) = 0}	cos⁡(180∘)=-1{\ displaystyle \ cos (180 ^ {\ circ}) = - 1}	cos⁡(270∘)=0{\ displaystyle \ cos (270 ^ {\ circ}) = 0}
cos2⁡(0∘)=1{\ displaystyle \ cos ^ {2} (0 ^ {\ circ}) = 1}	cos2⁡(90∘)=0{\ displaystyle \ cos ^ {2} (90 ^ {\ circ}) = 0}	cos2⁡(180∘)=1{\ displaystyle \ cos ^ {2} (180 ^ {\ circ}) = 1}	cos2⁡(270∘)=0{\ displaystyle \ cos ^ {2} (270 ^ {\ circ}) = 0}

Deci, valoarea medie a este neapărat , deci formula este . vs.os2(θ){\ displaystyle cos ^ {2} (\ theta)}12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}Eu=Eu02{\ displaystyle I = {\ frac {I_ {0}} {2}}}

Cu toate acestea, dovada riguroasă necesită teorema medie . Această funcție este egală cu 1 (maxim) pentru un unghi de 0 ° și este egală cu 0 (minimul său) pentru un unghi de 90 °. Astfel, media dintre aceste două extreme ale funcției va fi:

∫0π/2cos2⁡(θ)dθπ/2-0=∫0π/2(1+cos⁡(2θ)2)dθπ/2-0{\ displaystyle {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ color {OliveGreen} \ cos ^ {2} (\ theta)} \, d \ theta} {\ pi / 2 -0}} = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ color {OliveGreen} \ left ({\ frac {1+ \ cos (2 \ theta)} {2} } \ right)} \, d \ theta} {\ pi / 2-0}}}

Această ecuație este obținută grație unei identități trigonometrice printre formulele de reducere pătrată care spune că . Ulterior, integrăm termen cu termen, apoi evidențiem constantele: cos2⁡X=1+cos⁡(2X)2{\ displaystyle \ color {OliveGreen} \ cos ^ {2} x = {\ frac {1+ \ cos (2x)} {2}}}

=12∫0π/21dθ+12∫0π/2cos⁡(2θ)dθπ/2-0=12[θ]0π/2+12∫0π/2cos⁡(2θ)dθπ/2-0{\ displaystyle = {\ frac {{\ frac {1} {2}} {\ color {blue} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} 1 \, d \ theta} + {\ tfrac {1} {2}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos (2 \ theta) \, d \ theta} {\ pi / 2-0}} = {\ frac {{ \ frac {1} {2}} {{\ color {blue} \ left [\ theta \ right] _ {0} ^ {\ pi / 2}} + {\ color {YellowOrange} {\ tfrac {1} { 2}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos (2 \ theta) \, d \ theta}}} {\ pi / 2-0}}}

Integrala lui 1 de-a lungul lui θ este θ. Rețineți că putem face o înlocuire: și . tu=2θ{\ displaystyle \ color {YellowOrange} u = 2 \ theta}dθ=dtu2{\ displaystyle \ color {YellowOrange} d \ theta = {\ tfrac {du} {2}}}

=12[θ]0π/2+12⋅12∫0πcos⁡(tu)dtuπ/2-0=12[θ]0π/2+14[păcat⁡(tu)]0ππ/2-0{\ displaystyle = {\ frac {{\ frac {1} {2}} {\ color {blue} \ left [\ theta \ right] _ {0} ^ {\ pi / 2}} + {\ color {YellowOrange } {\ tfrac {1} {2}} \ cdot {\ tfrac {1} {2}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (u) \, du}} {\ pi / 2-0}} = {\ frac {{\ frac {1} {2}} {\ color {blue} \ left [\ theta \ right] _ {0} ^ {\ pi / 2}} + {\ color {YellowOrange} {\ tfrac {1} {4}} \ displaystyle \ left [\ sin (u) \ right] _ {0} ^ {\ pi}}} {\ pi / 2-0}}}

Am putea continua de acolo, dar exprimăm formula cu o singură primitivă , deoarece această formă este mai des întâlnită. În rândul următor, se utilizează proprietatea distributivă a înmulțirii în ceea ce privește adunarea și proprietatea asociativității adunării:

=12[θ]0π/2+14[păcat⁡(2θ)]0π/2π/2-0=[θ2+păcat⁡(2θ)4]0π/2π/2-0=[θ2+2păcat⁡(θ)cos⁡(θ)4]0π/2π/2-0{\ displaystyle = {\ frac {{\ frac {1} {2}} \ left [\ theta \ right] _ {0} ^ {\ pi / 2} + {\ color {YellowOrange} {\ tfrac {1} {4}} \ displaystyle \ left [\ sin (2 \ theta) \ right] _ {0} ^ {\ pi / 2}}} {\ pi / 2-0}} = {\ frac {\ left [{ \ frac {\ theta} {2}} + {\ frac {\ color {OliveGreen} \ sin (2 \ theta)} {4}} \ right] _ {0} ^ {\ pi / 2}} {\ pi / 2-0}} = {\ frac {\ left [{\ frac {\ theta} {2}} + {\ frac {\ color {OliveGreen} 2 \ sin (\ theta) \ cos (\ theta)} { 4}} \ right] _ {0} ^ {\ pi / 2}} {\ pi / 2-0}}}

Această ecuație este obținută grație unei identități trigonometrice printre formulele cu unghi dublu care spune că . În cele din urmă obținem primitivul cel mai des întâlnit  : păcat⁡[2(X)]=2păcat⁡(X)cos⁡(X){\ displaystyle {\ color {OliveGreen} \ sin [2 (x)] = 2 \ sin (x) \ cos (x)}}

=[θ+păcat⁡(θ)cos⁡(θ)2]0π2⋅2π=(F(π2)-F(0))⋅2π=π4⋅2π=24=12{\ displaystyle = \ left [{\ color {Plum} {\ frac {\ theta + \ sin (\ theta) \ cos (\ theta)} {2}}} \ right] _ {0} ^ {\ tfrac { \ pi} {2}} \ cdot {\ frac {2} {\ pi}} = \ left ({\ color {Plum} F ({\ tfrac {\ pi} {2}}) - F (0)} \ right) \ cdot {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ color {red} \ pi} {4}} \ cdot {\ frac {2} {\ color {red} \ pi} } = {\ frac {2} {4}} = {\ frac {1} {2}}}

Dacă facem acest lucru pentru întreaga ecuație a intensității luminoase, funcția va fi (maximă) pentru un unghi de 0 ° și va fi egală cu 0 (minimul său) pentru un unghi de 90 °. Astfel, media dintre aceste două extreme ale funcției va fi: Eu0{\ displaystyle I_ {0}}

Eu¯=∫0π/2Eu0cos2⁡(θ)dθπ/2-0=Eu0∫0π/2cos2⁡(θ)dθπ/2-0=Eu0π4⋅2π=Eu024=Eu02{\ displaystyle {\ bar {I}} = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {I_ {0}} \ cos ^ {2} (\ theta) \, d \ theta} {\ pi / 2-0}} = {\ frac {{I_ {0}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {2} (\ theta) \, d \ theta} {\ pi / 2-0}} = {I_ {0}} {\ frac {\ color {red} \ pi} {4}} \ cdot {\ frac {2} {\ color {red} \ pi}} = {I_ {0}} {\ frac {2} {4}} = {\ frac {I_ {0}} {2}}}

Prin urmare, pentru o undă nepolarizată, formula este . Eu=Eu02{\ displaystyle I = {\ frac {I_ {0}} {2}}}

Observație experimentală

În exemplul de mai jos, observăm lumină polarizată rectilinie care vine de pe ecranul unui computer. Conform legii lui Malus, polarizatorul plasat în față îl poate împiedica să treacă în funcție de orientarea sa.

• Observarea efectului unui polarizator asupra luminii polarizate de pe un ecran plat al computerului .

Note și referințe

1. Menten 2013 , sv legea lui Malus, p.  191, col.  1 .
2. Taillet, Villain și Febvre 2018 , sv Malus (legea), p.  452, col.  1 .
3. Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Malus Étienne Louis (1775-1812), p.  892.
4. Oxford Index , sv legea lui Malus.

Vezi și tu

Bibliografie

Manuale de învățământ superior

• [Séguin, Descheneau și Tardif 2010] Marc Séguin , Julie Descheneau și Benjamin Tardif , Physique XXI , t.  C: Valuri și fizică modernă , Bruxelles, Universitatea De Boeck , în afara col. / știință,Septembrie 2010, 1 st  ed. , 1  vol. , XIX -572  p. , bolnav. și fig. , 21,2 × 27,6  cm ( ISBN  978-2-8041-6194-1 , EAN  9782804161941 , OCLC  708358340 , notificare BnF n o  FRBNF42242783 , SUDOC  146797035 , prezentare online , citiți online ).

Dicționare și enciclopedii

• [Menten 2013] Pierre de Menten de Horne ( pref.  De Brigitte Van Tiggelen), Dicționar de chimie: o abordare etimologică și istorică , Bruxelles, De Boeck Supérieur , în afara col. / știință,Octombrie 2013, 1 st  ed. , 1  vol. , 395  p. , bolnav. și fig. , 17 × 24  cm ( ISBN  978-2-8041-8175-8 , EAN  9782804181758 , OCLC  863131805 , aviz BnF n o  FRBNF43681551 , SUDOC  172765986 , prezentare online , citit online ) , sv loi de Malus, p.  181-192.
• [Taillet, Villain și Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain și Pascal Febvre , Dicționar de fizică , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , în afara col. / știință,Ianuarie 2018, A 4- a  ed. ( 1 st  ed. Mai 2008), 1  vol. , X -956  p. , bolnav. și fig. , 17 × 24  cm ( ISBN  978-2-8073-0744-5 , EAN  9782807307445 , OCLC  1022951339 , notificare BnF n o  FRBNF45646901 , SUDOC  224228161 , prezentare online , citit online ) , sv Malus (legea), p.  452, col.  1.

linkuri externe

• [Oxford Index] (în) „  Legea lui Malus  ” [„Legea Malus”] înregistrare autoritate nr .  20110803100129368 a Oxford Index pe baza de date Oxford Reference a OUP .