Legea lui Levy

Distribuția Lévy
Densitatea probabilității pentru diferite valori ale lui c .
Funcția de distribuție pentru diferite valori de c .
Setări	μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} vs.>0{\ displaystyle c> 0 \,}
A sustine	X∈]μ,+∞[{\ displaystyle x \ in] \ mu, + \ infty [\,}
Probabilitate densitate	vs.2π⋅1(X-μ)3/2e-vs.2(X-μ){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}}
Funcția de distribuție	erfvs. vs.2(X-μ){\ displaystyle \ mathrm {erfc} ~ {\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \!}
Speranţă	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Median	vs./2(erf-1(1/2))2{\ displaystyle c / 2 ({\ textrm {erf}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \,} pentru μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Modă	vs.3{\ displaystyle {\ frac {c} {3}} \,} pentru μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Varianța	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Asimetrie	nedefinit
Curtoză normalizată	nedefinit
Entropie	1+3γ+ln⁡(16πvs.2)2{\ displaystyle {\ frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}} \,}
Funcție generatoare de momente	nedefinit
Funcția caracteristică	eeuμt--2euvs.t{\ displaystyle e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}} \,}

În teoria și statisticile probabilității , legea lui Lévy , numită după matematicianul Paul Lévy , este o lege continuă a probabilității . În fizica , mai precis în spectroscopie , poartă numele lui van der Waals profil și descrie profilul anumitor linii spectrale .

Această lege depinde de doi parametri: un parametru de poziție care schimbă suportul și un parametru de scală . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}[μ,∞[{\ displaystyle [\ mu, \ infty [} vs.{\ displaystyle c}

În cazul în care X urmează o Lévy, notă: . X∼Levy(μ,vs.){\ displaystyle X \ sim \ mathrm {Levy} (\ mu, c)}

Cu legea lui Cauchy și legea normală , este unul dintre cei trei să fie stabil de convoluție și de a avea un punct de vedere analitic exprimabilă densitate de probabilitate .

Caracteristici

Probabilitate densitate

Densitatea de probabilitate a legii Lévy este dată de:

f(X;μ,vs.)={vs.2π1(X-μ)3/2e-vs.2(X-μ) dacă X>μ0 dacă nu{\ displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} și {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {altfel }} \ end {cases}}}

unde este parametrul de poziție și este parametrul de scală . Ca toate legile stabile , există o formă standard a legii, definită de densitatea pe care o obținem din schimbarea variabilei: în expresia lui . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}vs.>0{\ displaystyle c> 0}f(X;0,1){\ displaystyle f (x; 0,1)}y=X-μvs.{\ displaystyle y = {\ frac {x- \ mu} {c}}}f(X;μ,σ){\ displaystyle f (x; \ mu, \ sigma)}

Legea lui Lévy are o coadă grea , exprimată prin formula:

f(X;μ,vs.)∼X→∞vs.2π 1X3/2.{\ displaystyle f (x; \ mu, c) \, {\ underset {x \ rightarrow \ infty} {\ sim}} \, {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~ {\ frac {1} {x ^ {3/2}}}.}

Această proprietate este ilustrată de reprezentarea densității pe un punct de referință log-log .

Funcția de distribuție

Funcția de distribuție a legii lui Lévy este dată de:

F(X;μ,vs.)={erfc(vs./2(X-μ)) dacă X>μ0 dacă nu{\ displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ textrm {erfc}} \ left ({\ sqrt {c / 2 (x- \ mu)}} \ right) & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}

unde erfc este funcția de eroare complementară.

Funcția caracteristică

Funcția caracteristică a legii lui Lévy este:

φ(t;μ,vs.)=eeuμt--2euvs.t.{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}

Putem scrie această funcție caracteristică sub forma mai clasică a legilor stabile:

φ(t;μ,vs.)=eeuμt-|vs.t|1/2 (1-eu semn(t)).{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ {\ textrm {sign}} (t))}. }

Momente

Căci , al n -lea moment al legii lui Lévy este dat formal de: μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}

mnu =def vs.2π∫0∞e-vs./2XXnuX3/2dX.{\ displaystyle m_ {n} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

Această integrală divergă pentru toate n > 0, deci momentele legii lui Lévy nu sunt definite. Funcția de generare a momentului este dată formal de:

M(t;vs.) =def vs.2π∫0∞e-vs./2X+tXX3/2dX.{\ displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

Integrala divergă pentru și este astfel nedefinită în orice interval în jurul valorii de zero, deci funcția generatoare de momente este nedefinită. t>0{\ displaystyle t> 0}

Link-uri către alte legi

• Dacă atunciX∼Taxă(μ,vs.){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Levy}} (\ mu, c) \,}kX+b∼Taxă(kμ+b,kvs.){\ displaystyle kX + b \ sim {\ textrm {Levy}} (k \ mu + b, kc) \,}
• Dacă atunci ( legea inversă-gamma )X∼Taxă(0,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Inv-Gamma(12,vs.2){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}
• Legea lui Lévy este un caz special al unei funcții Pearson de tip V.
• Dacă ( distribuție normală ) atunciDa∼Normal(μ,σ2){\ displaystyle Y \, \ sim \, {\ textrm {Normal}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}(Da-μ)-2∼Taxă(0,1/σ2){\ displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}
• Dacă atunciX∼Normal(μ,1σ){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Normal}} (\ mu, {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ sigma}}}) \,}(X-μ)-2∼Taxă(0,σ){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \ sim {\ textrm {Levy}} (0, \ sigma) \,}
• Dacă atunci ( lege stabilă )X∼Taxă(μ,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}X∼Grajd(1/2,1,vs.,μ){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Stable}} (1 / 2,1, c, \ mu) \,}
• Dacă atunci ( legea inversă - changed² a schimbat scala)X∼Taxă(0,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Scala-inv-χ2(1,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Scale-inv -}} \ chi ^ {2} (1, c)}
• Dacă atunci ( distribuție normală pliată )X∼Taxă(μ,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}(X-μ)-12∼PliatNormal(0,1/vs.){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}

Referinţă

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „  Lévy distribution  ” (a se vedea lista autorilor ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">