Legea stabilă

Legea stabilă
Densitate de probabilitate Distribuții stabile simetrice α -distribuție simetrică stabilă cu un factor de scară unitar


Distribuția funcției de distribuție funcțiile alfa -stable distribuții simetrice de distribuție funcțiile alfa -stable distribuții simetrice de distribuție funcții de distribuții stabile asimetrice centrate

Setări	α ∈ (0,2] - parametru de stabilitate β ∈ [−1,1] - parametru de asimetrie c ∈ (0, ∞) - parametru de scară μ ∈ (−∞, ∞) - medie
A sustine	x ∈ R , sau x ∈ [μ, + ∞ [dacă α <1 și β = 1 , sau x ∈] -∞, μ] dacă α <1 și β = -1
Probabilitate densitate	nicio expresie analitică generală, cu excepția câtorva valori ale parametrilor
Funcția de distribuție	nicio expresie analitică generală, cu excepția câtorva valori ale parametrilor
Speranţă	μ când α > 1 , altfel nedefinit
Median	μ când β = 0 , altfel nu există expresie analitică
Modă	μ când β = 0 , altfel nu există expresie analitică
Varianța	2 c 2 când α = 2 , altfel nedefinit
Asimetrie	0 când α = 2 , altfel nedefinit
Curtoză normalizată	0 când α = 2 , altfel nedefinit
Entropie	nicio expresie analitică generală, cu excepția câtorva valori ale parametrilor
Funcție generatoare de momente	nedefinit
Funcția caracteristică	${\ displaystyle \ exp \! \ left [\; \ mathrm {i} t \ mu - \| c \, t \| ^ {\ alpha} \, (1- \ mathrm {i} \ beta \, {\ mbox { sgn}} (t) \ Phi) \; \ right],}$ sau ${\ displaystyle \ Phi = {\ begin {cases} \ tan {\ tfrac {\ pi \ alpha} {2}} și {\ text {si}} \ alpha \ neq 1 \\ - {\ tfrac {2} { \ pi}} \ log \| t \| & {\ text {si}} \ alpha = 1 \ end {cases}}}$

Legea stabilă sau distribuția trunchiată Lévy , numită după matematicianul Paul Lévy , este o lege a probabilității folosită în matematică , fizică și analiza cantitativă ( finanțarea pieței ).

Variabilă aleatorie stabilă reală

Definiție

Spunem că o variabilă reală aleatorie are o distribuție stabilă dacă îndeplinește una dintre următoarele 3 proprietăți echivalente: $X$

Pentru toate realele strict pozitive și , există un real strict pozitiv și un real astfel încât variabilele aleatoare și să aibă aceeași distribuție, unde și sunt copii independente ale . $LA$ $B$ $VS$ $D$ ${\ displaystyle AX_ {1} + BX_ {2}}$ ${\ displaystyle CX + D}$ $X_ {1}$ $X_ {2}$ ${\ displaystyle X}$
Pentru orice număr întreg , există o constantă strict pozitivă și o reală astfel încât variabilele să fie aleatorii și să aibă aceeași distribuție, unde sunt copii independente ale lui . ${\ displaystyle n \ geq 2}$ $C_ {n}$ $D_ {n}$ ${\ displaystyle X_ {1} + X_ {2} + \ dots + X_ {n}}$ ${\ displaystyle C_ {n} X + D_ {n}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle X}$
Sunt reale , , și astfel încât funcția caracteristică a controalelor, pentru toți , ${\ displaystyle \ alpha \ in] 0.2]}$ ${\ displaystyle \ sigma \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ beta \ în [-1; 1]}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $X$ ${\ displaystyle \ theta \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta X} \ right] = \ left \ {{\ begin {array} {lc} \ exp \ left \ { - \ sigma ^ {\ alpha} | \ theta | ^ {\ alpha} (1- \ mathrm {i} \ beta (\ operatorname {sgn} \ theta) \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2} }) + \ mathrm {i} \ mu \ theta \ right \} & {\ text {si}} \ alpha \ neq 1, \\\\\ exp \ left \ {- \ sigma | \ theta | (1+ \ mathrm {i} \ beta {\ frac {2} {\ pi}} (\ operatorname {sgn} \ theta) \ ln | \ theta |) + \ mathrm {i} \ mu \ theta \ right \} & { \ text {si}} \ alpha = 1, \ end {array}} \ right.}$

sau ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} {\ theta} = \ left \ {{\ begin {array} {lc} 1 & {\ text {si}} \ theta> 0, \\ 0 & {\ text {si} } \ theta = 0, \\ - 1 & {\ text {si}} \ theta <0. \ end {array}} \ right.}$

Note :

Parametrii , , și caracterizează legea . Scriem atunci . ${\ displaystyle \ alpha \ in] 0.2]}$ ${\ displaystyle \ sigma \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ beta \ în [-1,1]}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $X$ ${\ displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}$
Real în se numește parametrul de stabilitate al . Realul pozitiv se numește parametru de scară al . $\alfa$ ${\ displaystyle] 0; 2]}$ $X$ $\ sigma$ $X$
Coeficienții , și sunt legate de relația . $LA$ $B$ $VS$ ${\ displaystyle C ^ {\ alpha} = A ^ {\ alpha} + B ^ {\ alpha}}$
Pentru toate , avem . ${\ displaystyle n \ geq 2}$ ${\ displaystyle C_ {n} = n ^ {1 / \ alpha}}$

Spunem că o variabilă reală aleatorie este -stabilă dacă este stabilă și parametrul său de stabilitate este . $X$ $\alfa$ $\alfa$

Proprietățile legilor stabile

Dacă și sunt independenți, atunci cu ${\ displaystyle X_ {1} \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma _ {1}, \ beta _ {1}, \ mu _ {1})}$ ${\ displaystyle X_ {2} \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma _ {2}, \ beta _ {2}, \ mu _ {2})}$ ${\ displaystyle X_ {1} + X_ {2} \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}$

${\ displaystyle \ sigma = (\ sigma _ {1} ^ {\ alpha} + \ sigma _ {2} ^ {\ alpha}) ^ {1 / \ alpha}, \, \ beta = {\ frac {\ beta _ {1} \ sigma _ {1} ^ {\ alpha} + \ beta _ {2} \ sigma _ {2} ^ {\ alpha}} {\ sigma _ {1} ^ {\ alpha} + \ sigma _ {2} ^ {\ alpha}}}, \, {\ text {și}} \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2}.}$

Dacă și , atunci . ${\ displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}$ $a \ in \ mathbb {R}$ ${\ displaystyle X + a \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu + a)}$
Dacă cu , atunci ${\ displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in] 0.2 [}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} \ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ lambda ^ {\ alpha} \ mathbb {P} (X> \ lambda) = C_ { \ alpha} {\ frac {1+ \ beta} {2}} \ sigma ^ {\ alpha}, \\\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to - \ infty} \ lambda ^ {\ alpha} \ mathbb { P} (X <\ lambda) = C _ {\ alpha} {\ frac {1- \ beta} {2}} \ sigma ^ {\ alpha}, \ end {array}} \ right.}$

unde . ${\ displaystyle C _ {\ alpha} = \ left (\ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {- \ alpha} \ sin x \, \ mathrm {d} x \ right) ^ {- 1 } = {\ frac {2 \ Gamma (\ alpha) \ sin (\ pi \ alpha / 2)} {\ pi}}}$

Dacă cu , atunci ${\ displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in (0,2)}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ mathbb {E} [| X | ^ {p}] <+ \ infty & {\ text {si}} p \ in] 0, \ alpha [, \\\ mathbb {E} [| X | ^ {p}] = + \ infty & {\ text {si}} p \ geq \ alpha. \ end {array}} \ right.}$

Caz simetric

Spunem că este simetric -stabil dacă este -stabil și că variabilele aleatorii și sunt distribuite identic. $X$ $\alfa$ $X$ $\alfa$ $X$ ${\ displaystyle -X}$

$X$ este simetric legea -stabil dacă și numai dacă . Pur și simplu observăm în acest caz . $\alfa$ ${\ displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, 0,0)}$ ${\ displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} S (\ sigma)}$
$X$ are o distribuție simetrică -stabilă dacă și numai dacă, funcția sa caracteristică satisface pentru toată egalitatea , unde este parametrul de scară al . $\alfa$ ${\ displaystyle \ theta \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta X} \ right] = \ mathrm {e} ^ {- \ sigma ^ {\ alpha} | \ theta | ^ {\ alpha}}}$ $\ sigma$ $X$

Vector aleator stabil și variabilă aleatorie stabilă complexă

Vector aleator stabil

Noi spunem că un vector aleatoriu de are o lege stabil , în cazul în care una se constată că din următoarele 2 proprietăți echivalente: ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ dots, X_ {d})}$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$

Pentru toate realele strict pozitive și , există un real strict pozitiv și un vector de astfel încât vectorii aleatori și să aibă aceeași distribuție, unde și sunt copii independente ale . $LA$ $B$ $VS$ $D$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$ ${\ displaystyle AX ^ {(1)} + BX ^ {(2)}}$ ${\ displaystyle CX + D}$ $X ^ {(1)}$ $X ^ {(2)}$ ${\ displaystyle X}$
Există o măsură finită pe sfera de și un vector astfel încât funcția caracteristică a verifică, pentru toți , $\Gamma$ $S_ {d}$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (\ theta _ {1}, \ dots, \ theta _ {d}) \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left (\ mathrm {i} \ sum _ {l = 1} ^ {d} \ theta _ {l} X_ {l} \ right) \ right] = \ left \ {{\ begin {array} {lc} \ exp \ left \ {- \ int _ {S_ {d}} | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | ^ {\ alpha} \ left (1- \ mathrm {i} \ operatorname {sgn} (\! \ Langle \ theta, s \ rangle \!) \ Tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}}) \ right) \ Gamma (\ mathrm {d} s) + \ mathrm {i} (\ theta, \ mu ^ {0}) \ right \} & {\ text {si}} \ alpha \ neq 1, \\\\\ exp \ left \ {- \ int _ {S_ {d}} | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | \ left (1+ \ mathrm {i} {\ frac {2} {\ pi}} \ operatorname {sgn } (\! \ langle \ theta, s \ rangle \!) \ ln | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | \ right) \ Gamma (\ mathrm {d} s) + \ mathrm {i} (\ theta, \ mu ^ {0}) \ right \} & {\ text {si}} \ alpha = 1, \ end {array}} \ right.}$

unde este produsul dot clasic . ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$

Note :

Perechea este unică. ${\ displaystyle (\ Gamma, \ mu ^ {0})}$
Realul se numește parametrul de stabilitate al . $\alfa$ $X$
Coeficienții , și sunt legate de relația . $LA$ $B$ $VS$ ${\ displaystyle C ^ {\ alpha} = A ^ {\ alpha} + B ^ {\ alpha}}$
Spunem că este simetric -stabil dacă este -stabil și că variabilele aleatorii și sunt distribuite identic. În acest caz, funcția sa caracteristică este dată, pentru orice , de . $X$ $\alfa$ $X$ $\alfa$ $X$ ${\ displaystyle -X}$ ${\ displaystyle (\ theta _ {1}, \ dots, \ theta _ {d}) \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left (\ mathrm {i} \ sum _ {l = 1} ^ {d} \ theta _ {l} X_ {l} \ right) \ right] = \ exp \ left \ {- \ int _ {S_ {d}} | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | ^ {\ alpha} \ Gamma (\ mathrm {d} s) \ right \}}$

Proprietățile vectorilor aleatori stabili

Dacă este un vector -stabil, atunci, pentru toate numerele reale , variabila reală aleatoare este -stabilă. ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ dots, X_ {d})}$ $\alfa$ ${\ displaystyle b_ {1}, \ dots, b_ {d}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {l = 1} ^ {d} b_ {l} X_ {l}}$ $\alfa$
Dacă și, pentru toate realele , variabila reală aleatorie este -stabilă, atunci vectorul este -stabil. ${\ displaystyle \ alpha \ în [1,2]}$ ${\ displaystyle b_ {1}, \ dots, b_ {d}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {l = 1} ^ {d} b_ {l} X_ {l}}$ $\alfa$ ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ dots, X_ {d})}$ $\alfa$
Dacă, pentru toate realele , variabila reală aleatorie este simetrică- stabilă, atunci vectorul este simetrică- stabilă. ${\ displaystyle b_ {1}, \ dots, b_ {d}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {l = 1} ^ {d} b_ {l} X_ {l}}$ $\alfa$ ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ dots, X_ {d})}$ $\alfa$

Variabilă aleatorie stabilă complexă

Noi spunem că o variabilă aleatoare complexă ${\ displaystyle Z = X + \ mathrm {i} Y}$ are o -stable lege , în cazul în care vectorul de este -stable. $\alfa$ $(X Y)$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ $\alfa$

De asemenea, spunem că legea este izotropă dacă, pentru toate , variabilele aleatoare și sunt distribuite identic. În acest caz, funcția caracteristică verifică toate complexele , unde este un real pozitiv numit parametru scala de . $Z$ ${\ displaystyle \ phi \ in [0,2 \ pi [}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi} Z}$ $Z$ ${\ displaystyle \ theta = \ theta _ {1} + \ mathrm {i} \ theta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ theta _ {1} X_ {1} + \ theta _ {1} X_ {1})} \ right] = \ mathrm {e} ^ {- \ sigma ^ {\ alpha} | \ theta | ^ {\ alpha}}}$ $\ sigma$ $Z$

Reprezentarea în serie a LePage

Caz simetric real

Fie . Noi pozăm . Fie și să fie două procese independente reciproc de variabile aleatorii definite pe același spațiu de probabilitate care îndeplinesc următoarele proprietăți: ${\ displaystyle \ alpha \ in] 0.2 [}$ ${\ displaystyle a (\ alpha) = \ left (\ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {- \ alpha} \ sin (x) \, \ mathrm {d} x \ right) ^ {- 1 / \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ {\ Gamma _ {m}: m \ in \ mathbb {N} \}}$ ${\ displaystyle \ {Z_ {m}: m \ in \ mathbb {N} \}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {G}}, \ mathbb {P})}$

,, sunt timpii de sosire a unui proces Poisson de intensitate 1; adică, pentru toate , avem , unde este o secvență de variabile aleatorii exponențiale independente cu parametrul 1. ${\ displaystyle \ Gamma _ {m}}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {m} = \ sum _ {n = 1} ^ {m} \ nu _ {n}}$ ${\ displaystyle (\ nu _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$
, Sunt reale, simetrice, independente, identic repartizate și verificarea variabilelor aleatoare . ${\ displaystyle Z_ {m}}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [| Z_ {m} | ^ {\ alpha}] <+ \ infty}$

Deci, seria converge aproape sigur. Mai mult decât atât, are o lege simetrică- stabilă și parametrul său de scală satisface . ${\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {+ \ infty} Z_ {m} \ Gamma _ {m} ^ {- 1 / \ alpha}}$ $\alfa$ $\ sigma$ ${\ displaystyle \ sigma = a (\ alpha) ^ {- 1} \ left (\ mathbb {E} [| Z_ {1} | ^ {\ alpha}] \ right) ^ {1 / \ alpha}}$

Caz izotrop complex

,, sunt timpii de sosire a unui proces Poisson de intensitate 1. ${\ displaystyle \ Gamma _ {m}}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$
, Sunt variabile aleatoare complexe, izotrop, independente, identic repartizate și de verificare , ceea ce înseamnă partea reală a . ${\ displaystyle Z_ {m}}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [| {\ text {Re}} (Z_ {m}) | ^ {\ alpha}] <+ \ infty}$ ${\ displaystyle {\ text {Re}} (Z_ {m})}$ ${\ displaystyle Z_ {m}}$

Deci, seria converge aproape sigur. În plus, are o lege izotropă stabilă și parametrul său de scală este satisfăcut . ${\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {+ \ infty} Z_ {m} \ Gamma _ {m} ^ {- 1 / \ alpha}}$ $\alfa$ $\ sigma$ ${\ displaystyle \ sigma = a (\ alpha) ^ {- 1} \ left (\ mathbb {E} [| {{\ text {Re}} (Z_ {1}) |} ^ {\ alpha}] \ right ) ^ {1 / \ alpha}}$

Link-uri către alte legi

Are cazuri speciale:

Legea lui Levy (parametrii α = 1/2 și beta = 1) definită printr - o formulă analitică explicită.
Legea normală (parametrul α = 2), definită printr-o formulă analitică explicită.
Distribuția Cauchy (parametrul α = 1) definită printr-o formulă analitică explicită.

Gnedenko și Kolmogorov au stabilit o generalizare a teoremei limitei centrale conform căreia suma variabilelor aleatorii cu cozi de distribuție descrescătoare în funcție de 1 / | x | α + 1 cu 0 <α <2 (având astfel o varianță infinită) tinde spre o lege stabilă cu parametrul α.

Referințe

(în) Samorodnitsky, G. și Taqqu, MS, Procese aleatorii non-gaussiene stabile. Modele stochastice cu varianță infinită , New York, Chapman și Hall, Londra,1994, 632 p. ( ISBN 0-412-05171-0 )
(în) Marcus, MB și Pisier, G., " Caracterizări ale seriei Fourier aleatorii p-stabile aproape sigure și a proceselor puternic staționare " , Acta Math. ,1984, p. 245-301
(în) Kono, N. și Maejima, M., „ Continuitatea Hölder a căilor de eșantionare a unor procese constante auto-similare ” , Tokyo Journal of Mathematics ,1991, p. 93-100
Gnedenko, Boris Vladimirov. , Limitați distribuțiile pentru sume de variabile aleatoare independente , Addison-Wesley Pub. Co,1954( OCLC 859841311 , citiți online )