Logica este baza raționamentului matematic.
„De la greci, cine spune că matematica spune demonstrație. "
- Nicolas Bourbaki , Elemente de matematică , în Introducere în teoria seturilor
Logica explică modul în care poate apărea un fapt sau aserțiune alte fapte deja admise. Un lanț de fapte despre care se spune că curg unele de la altele se numește demonstrație . Putem vedea că calculul și demonstrarea sunt cele două activități principale ale matematicii. Aici suntem interesați de activitatea demonstrativă. Pentru a demonstra ceva, trebuie fie să utilizați un limbaj specific (prezentat în alte articole specializate de pe Wikipedia, de exemplu în articolul deducerea naturală ), fie să păstrați limba franceză cu un anumit număr de convenții care au scopul de a elimina erorile și ambiguitățile. Prin urmare, logica este, în matematică, practica rigorii sau exactității în gândire.
De îndată ce facem matematică, ne plasăm într-o teorie în care acceptăm un anumit număr de fapte de bază. În exemplele următoare, faptele de bază sunt cele ale teoriei numerelor reale , unde cunoaștem proprietățile adunării, multiplicării, relației de ordine etc. Vom fi interesați de succesiunea raționamentului corect care se poate face din aceste fapte de bază dobândite.
Să începem prin a analiza două fapte:
primul fapt : al doilea a făcut : .Al doilea fapt rezultă din primul fapt. Într-adevăr, dacă , putem înlocui cu în expresie și găsim asta . Așa că am spune asta
sau
Scriem și noi
dacă atuncisau
este suficient pentrusau
este nevoie când .Toate aceste formulări sunt convenții pe care matematicienii au ales să le pună rigoare în raționament. În ceea ce tocmai am spus, la ce legături se numește o implicație . Mai precis afirmația că această implicație este adevărată se numește deducție, o deducție este un pas de bază al unei demonstrații.
Pe de altă parte, putem spune
Nu, pentru că cu cineva se poate afirma că , într-adevăr (3 x 1) . Pentru a putea spune ceva cu afirmațiile și trebuie să le combinați pentru a forma un singur fapt. Acest fapt este o nouă afirmație:
sau .Operația logică care combină două afirmații cu una sau se numește disjuncție . Rețineți că există mai puține variații de limbaj pe disjuncție decât pe implicație. Iar teoria ecuațiilor pătratice ne spune că putem scrie:
implică undesau
dacă atunci sau .De fapt, atunci când scriem implică ne dăm seama că ceva se spune mai tare decât . Implicând pierdem informații. Cu toate acestea, scriind sau slăbind afirmația , pierdem și informații, dar nu în același mod.
Cum combinați două fapte spunând că nu se pierd informații când mergeți de la unul la altul sau de la celălalt la unul, spunând că spun exact același lucru? Pe faptele de mai sus este scris:
este echivalent cu sausau
dacă și numai dacă sausau
este necesar și suficient pentru ca sausau
este o condiție necesară și suficientă pentru asta sau .Această combinație se numește echivalență . Deoarece echivalența merge în ambele direcții, putem scrie și:
sau este echivalent cusau
sau dacă și numai dacăsau chiar
sau if care este o formă scurtată a celei anterioare etc.Până acum am vorbit despre fapte sau declarații . În logică, se folosește în acest caz numele propoziției . La fel și o propunere. Putem da chiar numele propositions care sunt litere, de exemplu, am putea scrie implica . Prin urmare, putem vedea că acest lucru implică funcționează puțin ca în aritmetică. Astfel, se poate „calcula” și propozițiile, se vorbește mai mult despre calculul propozițiilor atunci când se vorbește despre acest mod de calcul. Dar, spre deosebire de aritmetica, unde spunem că este un operator, spunem că asta înseamnă că este un conector . Este mai mult o problemă de obișnuință, printre logicieni, decât într-adevăr un concept diferit. Am văzut trei conectori:
În aritmetică, nu scriem mai mult , ci bine . În calcularea propozițiilor, folosim notații ca pentru conectori și scriem
dar vom folosi aceste notații foarte puțin în acest articol.
Nu putem spune că asta implică . Pe de altă parte, putem spune că dacă merită, atunci nu merită : pentru asta trebuie să putem spune că nu avem . Pentru a face acest lucru, introducem un conector care pare unar în aritmetică, cel care îl înlocuiește cu . Acest conector se numește negație și este notat ca nr . Prin urmare, putem scrie:
implică nusau
dacă , atunci nu .Notarea formală a nu este . Vom scrie în loc de nu . Dar de multe ori se va folosi o scriere și mai condensată, adică .
Am văzut că nu putem spune asta
presupune ,pe de altă parte, putem întări prima propoziție (cea care se află la stânga implicită ) spunând că suntem în căutarea celor mai mari decât . Cu alte cuvinte, dorim să adăugăm condiția la . Pentru aceasta creăm propunerea:
și .Am introdus un nou conector și , datorită lui, putem afirma:
și implică .Acolo începem să vedem o mică problemă. În propoziția anterioară, am vrut să spunem că am avut pe de o parte
Și, pe de altă parte,
implicatsau am vrut să spunem asta
șiimplicat
?Aceasta este a doua intenție pe care o aveam în vedere. Pentru a evita orice ambiguitate, folosim paranteze și scriem:
( și ) implică .Și se remarcă în mod oficial . Deci, propoziția de mai sus poate fi scrisă:
.Să presupunem că nu ne referim la propoziția A văzută mai sus:
pentru sau pentru expresie este anulatădar o altă propunere:
există undeva un număr natural (adică unul ) pentru care această expresie dispare .Vom scrie:
Există astfel încât .„ Există ” se numește cuantificator .
Datorită acestei noi construcții logice, pentru că știm că anulează , putem scrie o propunere care afirmă că există un număr natural care anulează :
Dacă, acum, consider expresia , nu pot afirma că există una care o anulează. Dar, pe de altă parte, pot spune că, pentru toate numerele naturale, nu se anulează. Scriu atunci
„ Pentru orice ” este, de asemenea, un cuantificator . De asemenea , putem scrie: Oricare ar fi , . Și din nou: ∀ , în formularea care nu vrea să amestece franceza cu limbajul matematic.
Pentru a putea raționa, avem nevoie de câteva reguli. De exemplu, există reguli de implicare, cărora logicienii le-au dat nume.
Deci, putem spune că dacă avem și dacă avem implică, atunci avem . Aceasta înseamnă că, dacă dorim să demonstrăm , atunci vom putea să ne dăm două sub-obiective (două obiective intermediare): a demonstra și a demonstra implică , doar atunci vom putea folosi regula de mai sus pentru a demonstra . Ca și în cel de-al doilea sub-obiectiv, am avut o implicație și că în scopul final, nu mai există nicio implicație. Această regulă se numește modus ponens .
De exemplu, să presupunem că am arătat asta și, din moment ce avem implicații , putem deduce asta .
După cum tocmai am văzut, trebuie să avem mijloacele necesare pentru a demonstra implicațiile. Folosim pentru aceasta o regulă care „introduce” o implicație. Funcționează după cum urmează. Să spunem că am vrut să demonstrăm implică . Adăugăm la ipotezele noastre acceptate și încercăm să demonstrăm . Dacă avem succes, putem afirma implicări și îl putem folosi ulterior.
Există reguli pentru alți conectori precum sau sau și , dar și pentru cuantificatori.
Existența unui raționament matematic corect este un lucru, dar construcția unui astfel de raționament corect este un alt lucru. Prin urmare, se pune problema furnizării matematicienilor sau studenților cu metode pentru a face demonstrații. Iată câteva euristici (instrumente pentru a ajuta la construirea raționamentului) pe care matematicienii le au pentru a le ajuta să dezvolte dovezi. Unii matematicieni, precum Henri Poincaré , George Pólya , Martin Gardner sau Terence Tao au încercat să descrie în cărți abordarea lor și a colegilor lor așa cum o vede el.
În inducție, matematicianul pleacă de la descoperiri experimentale, apoi le generalizează găsind o „lege” care le unifică. De exemplu, vedem că dacă desenăm un triunghi din care una dintre laturi are diametrul unui cerc, iar cele 3 vârfuri ale acestui triunghi coincid cu periferia cercului, atunci acest triunghi este dreptunghiular. Inducția este o euristică , adică, o metodă care ajută la construirea apoi un raționament matematic riguros; în niciun caz nu constituie o demonstrație matematică.
În deducție, pornim de la ipoteze și încercăm să construim secvențe logice pentru a conduce la dovada teoremei. Această abordare poate duce la un punct în care nu mai există o deducție nouă de făcut fără o demonstrație (impas). Este nevoie să vă întoarceți pentru a lua un alt traseu (adică o altă deducere). Această abordare pur deductivă poate fi costisitoare, deoarece numărul de căi de explorat este extrem de mare. Poate fi interesant atunci să avem o idee chiar intuitivă și incompletă a direcției „corecte” și să „măsurăm” cât de aproape suntem de soluție (vezi Backtrack ). Prin urmare, deducerea trebuie combinată cu alte euristici.
Căutăm o demonstrație împărțind problema într-un caz.
Exemplu : Avem, pentru toatenumerelenaturale,par?
Propoziția este: „ este par pentru tot numărul natural n”
Euristica este: „raționăm prin disjuncție de cazuri” .
Cazul 1: considerăm par sau cu un număr natural.
care este un număr par.
Cazul 2: considerăm impar sau cu un număr natural.
care este un număr par. Astfel, pentru orice număr natural (par sau impar), avem par.
Dacă avem o dovadă pentru fiecare caz, avem o dovadă a problemei generale.
Presupunem negarea a ceea ce vrem să arătăm, apoi arătăm că acest lucru duce la un absurd.
Un loc pentru a arăta că A implică B este arătat că negarea B implică negarea A .
Printr-un proces pas cu pas, demonstrăm că o proprietate este adevărată pentru toate numerele întregi sau pentru orice structură matematică care seamănă cu numerele întregi.
Se analizează potențialele soluții candidate și se elimină, printre acestea, cele care nu sunt soluții autentice, sperând astfel să se obțină o demonstrație adevărată în rândul candidaților care nu sunt eliminați.
În afară de corectarea formală, matematicienii sunt de acord în a judeca anumite dovezi (cu același rezultat) mai elegante decât altele, adesea pentru că sunt mai scurte, dar și prin ingeniozitatea argumentelor folosite, sau prin apariția unor relații ascunse cu alte rezultate deja cunoscute .