Cartea IX a Elementelor lui Euclid

Book IX al elementelor de Euclid continuă studiul aritmeticii, începută în cărți VII și VIII . Dovedim câteva teoreme majore: infinitatea numerelor prime , suma termenilor unei secvențe geometrice și forma numerelor pare perfecte .

Are 36 de propuneri.

Propuneri

Acestea se referă la:

• Proprietățile numerelor pătrate și cubice. Două numere plane similare au pentru produs un pătrat (prop. 1) și invers (prop. 2). Pătratul unui cub este un cub (prop. 3). Produsul a două cuburi este un cub (prop. 4 până la 6). Într-o succesiune geometrică de numere întregi începând cu unitate, termenii rangului 2 n +1 sunt pătrate, termenii rangului 3 n +1 sunt cuburi. Termenii rangului 6 n +1 un pătrat și un cub simultan (prop. 8). Dacă al doilea termen este un pătrat, toți termenii sunt pătrate. Dacă al doilea termen este un cub, toți termenii sunt cuburi (prop. 9 și 10).
• Proprietățile secvențelor geometrice . Continuăm studiul secvențelor geometrice ale numerelor întregi, început în Cartea VIII . Dacă o secvență geometrică începe cu unitate, atunci un număr prim care împarte ultimul termen îl împarte și pe al doilea (prop. 12). Dacă al doilea termen este un număr prim, niciun alt număr prim nu îl va împărți pe cel mai mare (prop. 13). Dacă o succesiune geometrică este formată din trei termeni primi, suma a doi termeni este primă cu al treilea (prop. 15). Prop. 16 afirmă că o succesiune de două numere prime între ele nu poate fi extinsă, iar prop. 17 îl generalizează la orice secvență ale cărei extreme sunt prime între ele. Prop. 35 oferă expresia sumei termenilor unei secvențe geometrice: dacă câte numere dorim sunt proporționale succesiv și dacă din al doilea și ultimul termen scădem un număr egal cu primul, excesul celui de-al doilea va fii la primul ca excesul ultimului este la suma tuturor celor care sunt înaintea lui .
• Proprietatea numerelor prime . Prop. 20 este una dintre cele mai cunoscute. Se afirmă că numerele prime sunt în cantitate mai mare decât orice cantitate dată de numere prime , cu alte cuvinte, sunt în cantitate infinită . Dovada constă în luarea numerelor prime într-o cantitate dată, a , b , c , ... și adăugarea 1 la PPCM-ul lor . Euclid arată apoi că orice divizor prim al numărului obținut (sau acest număr în sine dacă este prim) este un număr prim nou.
• Proprietăți de paritate ale numerelor întregi . Recuzita. De la 21 la 34 se indică un număr de proprietăți pe paritatea numerelor întregi, de exemplu, suma unui număr par de numere întregi impare este pară (prop. 22), produsul unei impare cu o impară este impar (prop. 29).
• Formați numere pare perfecte . Cartea se încheie cu recuzita. 36, care dă forma numerelor pare perfecte: dacă, pornind de la unitate, câte numere doriți sunt succesiv proporționale în raport dublu, până când suma lor este un număr prim și dacă această sumă înmulțită cu ultimul număr face un număr , produsul va fi un număr perfect . Deci, 1 + 2 = 3 și 3 × 2 = 6 ceea ce este perfect. Sau altfel 1 + 2 + 4 = 7 și 7 × 4 = 28 ceea ce este perfect. Condiția dată de Euclid este suficientă doar pentru a obține un număr par perfect și Euler este cel care va dovedi că este necesar.

Bibliografie

• Lucrările lui Euclid, traducere de F. Peyrard , Paris, 1819, nou tipărit de Jean Itard , Éditions Albert Blanchard, 1993
• Euclide ( trad.  Bernard Vitrac), Elementele [ detaliile edițiilor ]

Link extern

Cele cincisprezece cărți ale elementelor geometrice ale lui Euclid , traducere de D. Henrion , 1632, pe site-ul Gallica al BNF